| 研究実績の概要 |
採択者の研究課題は, 非線形分散型方程式に対する初期値問題の適切性の解明である. 非線形分散型方程式は, 分散性と非線形性という相反する性質を併せ持つため, 線形化方程式の解の性質と非線形項の幾何学的構造を同時に扱うことが重要になる. それを遂行した1990年代のBougainの研究を皮切りにこの分野が発展し, 最も強い特異性を持つ非線形相互作用は共鳴部分に集中することが分かってきた. 共鳴部分とは何の平滑化効果も得られない相互作用を指すため, 微分の損失を持つ共鳴部分を持つ方程式は線形化方程式の解の摂動として捉えることができない. 一方, 採択者は直接的には線形の摂動とは見なせなくとも, 高い対称性を有する可積分系の非線形分散型方程式に対しては適切性を証明できると予想する. 実際に採択者は可積分系であるKdV階層に属する次数の低い幾つかの方程式に対し, その適切性を解明した. 本年度は, 3次Benjamin-Ono(3次BO)方程式の研究を行なった. この方程式は可積分系であるがKdV階層とは異なり, 半線形型方程式であるため, たとえ微分の損失を持つ共鳴部分を相殺しようとも分散効果を引き出すことが難しい. そこで方程式が持つゲージ不変性を利用した変換を施すことにより, 半線形型の特異な構造を改善する. ここで変換後の方程式も可積分系の構造を持つことが重要な点である. この性質から問題となる共鳴部分が明示的に局在化され, 保存量を用いることにより線形部分に吸収することができる. 残りの相互作用は, 分散効果を引き出すことで線形の摂動と見なすことができ, エネルギー空間での時間大域的適切性を証明することに成功した. また3次BO方程式に対しては, 可積分系特有の理論である逆散乱法による結果もほとんどなく, その観点からも興味深い結果だと思われる.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
採択者は, KdV階層, 修正KdV階層及びシュレディンガー階層に属する2番目に次数の低い方程式を1次元トーラ上で考え, その初期値問題の適切性を解明した. これらは次数の最も低いKdV方程式や修正KdV方程式とは異なり, 微分の損失を持つ共鳴部分が解のflowの高次近似に現れるため, それを相殺することが難しい. そこで採択者は, 可積分系が有する高い対称性により, 問題となる共鳴部分が強く局在化され, 明示的な表現を持つことを発見した. そして保存量を用いた非線形変換により, 共鳴部分を相殺でき, ある意味で臨界となる関数空間における適切性を示した.
またこの過程で得た評価が精密であるため, これらの方程式に対応するGibbs測度の構成及びその不変性に関する研究に応用できる可能性がある. これが分かれば, その系として解の回帰性を示すことができ, 時間発展した解の挙動の情報が得られる.
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| 今後の研究の推進方策 |
KdV階層に含まれる一般の次数の方程式に対する初期値問題の適切性を解明したい. 特にエネルギー空間で適切性を示し, 保存則を利用することにより時間大域解を構成することが目的である. 一般の次数の方程式は, 帰納的にしか定義されておらず, 明示的な表現を持たないことが困難な点である. そのため, 可積分系特有の理論である逆散乱法を学習し, より深く可積分系の代数的性質を理解する.
また現在までの進捗状況で述べた確率論的手法による不変測度の構成の研究も並行して行う.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウィルスの拡散の影響により, 2月及び3月に参加する予定であった研究集会が中止あるいは延期されたため, それに使用する予定であった旅費を繰り越す. 繰り越した助成金は, コロナウィルスの拡散が収束後, 延期された研究集会などの旅費として使用する予定である. また自らが組織委員である研究集会「Saga Workshop on PDE」と「PDE Workshop in Miyazaki」を来年度も継続し, 開催する.
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