| 研究課題/領域番号 |
18K13443
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
曽我 幸平 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (80620559)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 弱KAM理論 / Hamilton-Jacobi方程式 / Tonelliの変分法 / Navier-Stokes方程式 / 二相問題 / 弱解 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、応用解析的アプローチによって、力学系および流体力学に関する定性的・定量的な結果を追求することである。
弱KAM理論で基本的な役割を果たすTonelliの変分法を再考し、作用汎関数の有限次元近似および付随するEuler-Lagrange方程式(ODE)に対するEuler-Cauchyの折れ線近似法に基づく新たな枠組みを提案した。絶対連続曲線の性質に基づくTonelliの変分法の枠組みよりはるかに単純かつ初等的な議論によって、滑らかな最小化元を直接見つけることが可能となった。本結果を学術論文にまとめ投稿した。汎関数の有限次元近似に基づく最小化元の解析は変分法における一般的な手法となり得るため、関連した研究が進行中である。
ランダムウォークに対して定義される作用汎関数の最小化問題から帰結される弱KAM理論が2020年度の研究で得られたが、この結果に関する全6回のミニコース(オンライン)を上海交通大学で行った。また、本結果の概説を日本応用数理学会学会誌『応用数理』に寄稿した。
これまでの研究によってChorinの方法(非圧縮性Navier-Stokes方程式のLeray-Hopfの弱解を差分法で構成する方法)を一般化し、任意形状の有界領域上の初期値問題に対して時間大域的な可解性と収束、滑らかな解への収束率の評価、解の長時間挙動・時間周期解の構成・滑らかな時間周期解への収束率の評価などの諸結果を得た。これらの結果を二相流体の自由教会問題に拡張するための基礎研究を行った。Mullins-Sekerkaモデルと呼ばれる二相問題に焦点を絞り、その弱解の構成的存在証明に関する研究が進行中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
2021年度は、前年度までに得られた成果の発表・解説および本研究の裾野を広げるための基礎研究に重きをおき、研究を遂行した。当該研究分野の周知・発展に寄与できたことから、研究はおおむね順調に進んでいると判断する。
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| 今後の研究の推進方策 |
有限次元近似に基づくTonelliの変分法の新たな枠組みをHamiltonian作用汎関数の極値曲線の問題に応用することを考える。特にHamilton-Jacobi方程式の「variational solution」と呼ばれる解クラスおよび非凸型Hamiltonianに対する弱KAM理論の文脈から、Hamiltonian作用汎関数の解析・応用について考察する。上海交通大学の研究グループと協力して、ランダムウォークに対する弱KAM理論をcontact型Hamiltonianに拡張する研究を続ける。
Mullins-Sekerka型の二相問題に対する有限差分法の基礎研究を進める。先行研究として反離散(時間変数は離散、空間変数は連続)近似による弱解の存在証明が知られているが、類似の結果を完全離散近似で行うことを目指す。離散問題の定式化および近似の収束証明で必要となるコンパクト性の研究に力を入れる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
社会情勢の影響により、計画していた出張がキャンセルとなったため。研究遂行のための物品費(数値計算用ソフトウェア、図書、PC周辺機器など)および出張旅費(研究討論、情報収集、成果報告、学会参加など)に充てる。
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