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2021 年度 実施状況報告書

双曲型偏微分方程式に対する解の精度保証付き数値計算理論の研究

研究課題

研究課題/領域番号 18K13453
研究機関筑波大学

研究代表者

高安 亮紀  筑波大学, システム情報系, 助教 (60707743)

研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2023-03-31
キーワード精度保証付き数値計算 / 無限次元力学系 / 計算機援用証明 / 複素数値非線形熱方程式
研究実績の概要

本年度は、本研究課題において確立したスペクトル法による非線形偏微分方程式に対する解の精度保証付き数値計算方法を利用した計算機援用証明に従事した。無限次元力学系として解釈され、分散型に分類される非線形シュレディンガー方程式を含む複素数値非線形熱方程式の解の大域挙動を解明することに成功した。具体的には、昨年度非線形シュレディンガー方程式のコネクティングオービットの数値検証を成功させた (i)Parameterization method、(ii)厳密な求積方法、(iii)時間大域存在の数理解析手法の3つを組み合わせる数値検証手法を用いて、複素数値非線形熱方程式の非自明な平衡解から延びる複素1次元の不安定多様体に沿って、平衡解周りの様々な方向への複数の零解へのヘテロクリニック軌道を計算機援用証明することで、解の大域挙動を厳密に観測した。そして、複素関数論の定理であるVitaliの定理を利用した非有界な解軌道の存在を証明することにも成功した。これにより、非自明な平衡解からの解の大域挙動は少なくとも一方向に有限時間・無限時間爆発する解が存在することが示せた。さらに、Vitaliの定理が適用できない非線形シュレディンガー方程式に対しても、非有界な解の存在の根拠を精度保証付き数値計算により示し、その存在を数学的予想として残した。本研究は双曲型偏微分方程式に対する解の精度保証付き数値計算の基盤を応用した成果であり、成果をまとめた論文が国際ジャーナル誌に出版されている。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

本年度は、双曲型偏微分方程式に対する解の精度保証付き数値計算の基盤技術を応用し、非線形双曲型偏微分方程式にとどまらない研究成果が得られた点が特筆すべき点である。特に、今回考えている複素数値非線形熱方程式は放物型と呼ばれるクラスの方程式と分散型方程式の橋渡しをする方程式であり、その解の大域挙動を解明した方法論は双曲型方程式を考える際にも大いに役立つことが期待できる。

今後の研究の推進方策

本研究課題の成果である無限次元力学系に対する3つの精度保証付き数値計算手法の次なる応用先に挑戦する。一例として、非線形消散波動方程式が考えられ、C0-(半)群の評価に拡散構造がない問題に対して、分散型方程式の解の精度保証付き数値計算に利用した方法を応用し、適切なスケール変換により散逸的なふるまいを捉える予定。

次年度使用額が生じた理由

昨年度に引き続きコロナ禍における国際学会の中止やオンライン化、および国内学会のオンライン化の影響で、旅費の支出が生じなかったことで次年度に繰越が生じた。次年度は国際学会が欧州を中心に開催する予定があり、旅費・参加費等で支出予定である。

  • 研究成果

    (20件)

すべて 2022 2021 その他

すべて 国際共同研究 (2件) 雑誌論文 (3件) (うち国際共著 3件、 査読あり 2件、 オープンアクセス 3件) 学会発表 (15件) (うち国際学会 4件、 招待講演 3件)

  • [国際共同研究] McGill University(カナダ)

    • 国名
      カナダ
    • 外国機関名
      McGill University
  • [国際共同研究] Boston University(米国)

    • 国名
      米国
    • 外国機関名
      Boston University
  • [雑誌論文] Singularities and heteroclinic connections in complex-valued evolutionary equations with a quadratic nonlinearity2022

    • 著者名/発表者名
      Jaquette Jonathan、Lessard Jean-Philippe、Takayasu Akitoshi
    • 雑誌名

      Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation

      巻: 107 ページ: 106188~106188

    • DOI

      10.1016/j.cnsns.2021.106188

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] Global dynamics in nonconservative nonlinear Schr?dinger equations2022

    • 著者名/発表者名
      Jaquette Jonathan、Lessard Jean-Philippe、Takayasu Akitoshi
    • 雑誌名

      Advances in Mathematics

      巻: 398 ページ: 108234~108234

    • DOI

      10.1016/j.aim.2022.108234

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] A geometric characterization of unstable blow-up solutions with computer-assisted proof2021

    • 著者名/発表者名
      Jean-Philippe Lessard, Kaname Matsue, Akitoshi Takayasu
    • 雑誌名

      arXiv:2103.12390 [math.DS]

      巻: - ページ: -

    • DOI

      10.48550/arXiv.2103.12390

    • オープンアクセス / 国際共著
  • [学会発表] Chebyshev interpolation for rigorous integrator of differential equations2022

    • 著者名/発表者名
      Akitoshi Takayasu
    • 学会等名
      International Workshop on Reliable Computing and Computer-Assisted Proofs (ReCAP 2022)
    • 国際学会
  • [学会発表] Julia言語を用いたChebyshev補間とその応用2022

    • 著者名/発表者名
      近藤慎佑, 高安亮紀
    • 学会等名
      日本応用数理学会若手の会 第7回学生研究発表会
  • [学会発表] Julia言語を用いた常微分方程式の周期解の精度保証付き数値計算2022

    • 著者名/発表者名
      高橋和暉, 高安亮紀
    • 学会等名
      日本応用数理学会若手の会 第7回学生研究発表会
  • [学会発表] ベッセル関数のType-ll PSAの計算について2022

    • 著者名/発表者名
      宮内洋明, 高安亮紀, 柏木雅英, 浅井大晴
    • 学会等名
      日本応用数理学会 第18回 研究部会連合発表会
  • [学会発表] フーリエスペクトル法を用いた遅延Duffing方程式の周期解の精度保証付き数値計算2022

    • 著者名/発表者名
      市川葵, 高安亮紀
    • 学会等名
      日本応用数理学会 第18回 研究部会連合発表会
  • [学会発表] Singularities and heteroclinic connections in complex-valued evolutionary equations with a quadratic nonlinearity2021

    • 著者名/発表者名
      高安亮紀, Jonathan Jaquette, Jean-Philipp Lessard
    • 学会等名
      2021年度応用数学合同研究集会
  • [学会発表] Julia言語を用いた精度保証付き数値計算の実践2021

    • 著者名/発表者名
      高安亮紀
    • 学会等名
      第5回 精度保証付き数値計算の実問題への応用研究集会 (NVR 2021)
    • 招待講演
  • [学会発表] ある連立遅延微分方程式系の星形周期解ー数値的根拠と精度保証ー2021

    • 著者名/発表者名
      高安亮紀
    • 学会等名
      RIMS 共同研究(公開型)時間遅れ系と数理科学:理論と応用の新たな展開に向けて
  • [学会発表] A rigorous forward integration method for time-dependent PDEs2021

    • 著者名/発表者名
      Akitoshi Takayasu, Jean-Philippe Lessard
    • 学会等名
      The 19th International Symposium on Scientific Computing, Computer Arithmetic, and Verified Numerical Computations (SCAN 2020)
    • 国際学会
  • [学会発表] Swift-Hohenberg方程式の厳密な数値求積法2021

    • 著者名/発表者名
      高安亮紀
    • 学会等名
      日本応用数理学会2021年度年会
  • [学会発表] A spectral method for viscous Burgers equation with a time delay2021

    • 著者名/発表者名
      高安亮紀, 久保隆徹
    • 学会等名
      日本応用数理学会2021年度年会
  • [学会発表] Rigorous integrator for dissipative PDEs using the Chebyshev-Fourier spectral method2021

    • 著者名/発表者名
      Akitoshi Takayasu, Jean-Philippe Lessard
    • 学会等名
      SIAM Conference on Applications of Dynamical Systems (DS21)
    • 国際学会
  • [学会発表] Complex moment-based methods for differential eigenvalue problems2021

    • 著者名/発表者名
      Akira Imakura, Keiichi Morikuni, Akitoshi Takayasu
    • 学会等名
      SIAM Conference on Applied Linear Algebra (LA21)
    • 国際学会
  • [学会発表] Global dynamics in nonconservative nonlinear Schroedinger equations2021

    • 著者名/発表者名
      高安亮紀
    • 学会等名
      京都大学 NLPDE セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] 非線形熱方程式の複素時間領域における解の精度保証付き数値計算2021

    • 著者名/発表者名
      高安亮紀
    • 学会等名
      数値解析セミナー(東京大学大学院 数理科学研究科/情報理工学系研究科)
    • 招待講演

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公開日: 2022-12-28  

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