| 研究実績の概要 |
昨年度までは低次元のセル・オートマトン（以下CAと書く）に対し、初期値Single site seedからの時空間パターンから特異関数が得られることを示し、その関数に関する解析を進めていた。
今年度は、次元を一般化し、任意の次元のCAの時空間パターンから得られる関数に対して議論を進めてきた。Salemの特異関数は単位区間上、狭義単調増加で、連続であり、ほとんど至るところで微分が0となるような関数であり、パラメータは[0, 1]上に値を取る。これまでの研究で、CAの時空間パターンの極限集合がフラクタルである場合、そのパターンを時間軸に射影するとパラメータが1/3, 1/4, 1/5のときのSalemの特異関数が得られることが分かっていた。しかし、その他のパラメータのSalemの特異関数を与えるCAが存在するか否かは不明であった。今年度は、各次元Dに対してパラメータが 1/(2D+1) と 1/(2^D+1) のSalemの特異関数をそれぞれ与えるCAが存在することを、具体的にCAを構成することによって示した。この結果は、パラメータが3以上の奇数の逆数となるSalem関数を与えるCAが存在することを意味する。
また、2次元平面上の格子として、正方格子の他に三角格子、六角格子が考えられるため、これらの格子上のCAから得られる関数についても今年度中に議論し、Salemの特異関数を与える例が存在することを示した。
さらに数値計算結果として、次元が5以下の場合、上記2種類以外のD次元線対称2状態半径1のCAが与える関数は、パラメータが3以上の整数の逆数となるSalem関数とはならないことを示した。
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