| 研究実績の概要 |
本研究期間内における研究成果の中で主要なものを2つ述べます.1つめは放物型方程式の解の精度保証付き数値計算法改良のために放物型方程式の半離散近似解に対する誤差定数値の定量的な評価法を提案しました.この誤差定数の最良に近い値が得られれば精度保証付き数値計算法の長時間における解の検証がしやすくなるというメリットがあり, 大域解などといった反応拡散系を含む偏微分方程式の様々な解の挙動を計算機で解析しやすくなります.この改善手法を用いると精度保証付き数値計算法による解の検証の性能が既存のものに比べて8倍程上がりました. さらにその評価法によって得られた誤差定数値は楕円型方程式の射影誤差定数と一致するという数学的に興味深い結果を得ることにも成功しました.2つめは本研究から派生してできた藤田型方程式の爆発解の数値的検証法と爆発時間のシャープな評価法です. その手法について説明します.まず, ある有限な時間Tまで放物型方程式の解の精度保証付き数値計算法により有界な解の存在(この時間帯では解の爆発はおこっていないことに注意する)を検証します. 次に精度保証付き数値計算法で検証できた解のノルム値の評価を用いて藤田型方程式のエネルギ－汎関数の値を計算します. 最後に求めたその値から時刻T以降の解が爆発することを数学的に証明し, 同時に爆発時間も具体的に計算するというものです. 一般的に藤田型方程式を含めた偏微分方程式の解の爆発時間は限定的な条件下でしか得られていませんでした.そこで我々は解の精度保証付き数値計算法を持ち込むことによって, 既存の手法では爆発解の証明やその時間が解明できない場合おいても藤田型方程式の爆発解の証明やその時間の解明に成功しました.
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