| 研究課題/領域番号 |
18K13547
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| 研究機関 | 立命館大学 |
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研究代表者 |
西中 崇博 立命館大学, 理工学部, 助教 (20773021)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 超対称性 / 共形場理論 / 双対性 / 超弦理論 |
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| 研究実績の概要 |
2018年度の研究成果は主に「アルジレス・ダグラス理論（以下、AD理論）からの非自明な繰り込み群の発見」、「面演算子とカイラル代数の具体的関係の解明」、「シューア多重項の選択則の解明」、そして「AD理論の分配関数の計算」の4つである。
まず「AD理論からの繰り込み群」については、2017年度に共同研究者と発見した新しいAD理論に質量変形を加えて1次元をコンパクト化すると、繰り込み群により、超対称性を最大数持つ3次元場の理論にflowするという事実を明らかにした。このflowは、コンパクト化の半径を無限大にする極限で、超対称性を最大数持つ未知の4次元理論に到達する可能性を秘めており、今後のさらなる研究が期待される。
また「面演算子とカイラル代数の関係」については、無限個のAD理論について面演算子入りのシューア指数を計算し、それが対応するカイラル代数の既約表現の指標に一致することを示した。面演算子と既約表現の対応については幾つかの簡単な系列について検証されていたが、本研究成果はそれを無限個の系列に拡張した。
さらに「シューア多重項の選択則」については、カイラル代数との関係で重要となるシューア多重項について、エネルギー運動量多重項との演算子積展開の選択則を明らかにした。特に2次元のヴィラソロ代数の作用と4次元のR電荷の間に予想外の関係があることを明らかにした。
最後に「AD理論の分配関数」については、2つのAD理論の分配関数を、一般化されたAGT対応を用いて計算した。この結果はパンルヴェ方程式からの結果を正しく再現する。また一般化されたディセンダント場による展開が、AD理論の結合定数の逆べきに関する展開になっていることを示した。さらに一般化されたAGT対応に現れる不定定数の役割を明らかにすることで、より一般のAD理論への拡張のための指針を得ることができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
本研究の目的は、AD理論の非摂動的性質、特に双対性を明らかにすることである。中でも1年目の目標は、2つの比較的簡単なAD理論の「分配関数」を計算することであった。この1年目の目標は、一般化されたAGT対応を用いた計算により確かに達成され、最も一般のオメガ背景上における2つのAD理論の分配関数を計算することができた。また一般化されたAGT対応には不定定数がいくつも現れることが知られていたが、上記研究の過程でこの不定定数の役割を明らかにすることができ、これによってより一般のAD理論の分配関数を計算するためのアイデアを得ることができた。これらの成果については、間もなく論文として発表する予定である。
さらに上記に加えて、当初の計画では2年目以降に着手する予定であった「カイラル代数」についても考察し、様々な進展があった。まず「研究実績の概要」でも述べた通り、「面演算子とカイラル代数の関係」および「シューア多重項の選択則」を明らかにすることができた。これらはAD理論の双対性をカイラル代数の側面から考察する際に重要になると期待される。またこれらとは別に、申請者が頂点作用素代数の研究会に4回招待され講演を行なった際、AD理論のカイラル代数に関する大きな発見をした。この発見は当初予想していたものではなく、AD理論の双対性に対する全く新しいアプローチを提示するものである。これについては現在、共同研究者と詳細を詰めており、2019年度には発表できると考えている。
このように、2018年度は当初の目標を達成するのみならず、カイラル代数に関しても多くの成果を生み、さらに双対性に関する新しい画期的なアプローチを見出すことができたため、本研究課題は当初の計画以上に進展していると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
まず当初の計画通り、「カイラル代数」を調べることでAD理論の双対性を明らかにする。この際、当初の予定通り、高性能のコンピューターを用いてカイラル代数を具体的に構成する。またこれに加えて、「現在までの進捗状況」で述べた新しいアプローチにより、AD理論の双対性の解明を行う。後者は当初の計画にはなかったが、1年目の研究成果で得られた新しい手法であり、本研究課題の目標達成に大きく貢献する画期的なアプローチであるため、積極的に研究する。既に現在までの段階で、これまで他のどの手法でも計算できなかったものを、この新しい手法により計算できることが分かっている。また、これまで認識されていなかった新しい双対性の発見にもつながっている。今後はこの手法の一般論を整備し、この手法がどのクラスのAD理論に適用できるのかを明らかにするとともに、これまで発見法的に議論されてきたAD理論の双対性を統一的に理解する方法を探る。
また「分配関数」を用いたアプローチについては、当初の計画通り、AD理論をゲージ化して得られる超共形場理論の分配関数を、一般化されたAGT対応により計算する。そしてその分配関数をインスタントン数に関して展開することで、各インスタントン数のセクターにおけるAD理論の寄与を計算する。さらにこの寄与を一般に与える、閉じた形の公式の発見を目指す。またこれらに加えて、1年目の研究成果により明らかになった「不定定数の役割」を考慮することで、より一般のAGT対応への拡張を行う。これにより得られるであろう成果は、1年目の結果の検証になるばかりか、より多くのAD理論の分配関数の計算にもつながるため、非常に重要である。この一般化については、最も簡単な具体例に関して既に計算を始めており、解決すべき問題とその解決策について理解が進んでいる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本研究課題では「分配関数」と「カイラル代数」の2つの手法を用いて双対性の解明を行う。これら2つの手法では複雑な計算をコンピューターを用いて行うため、高性能のコンピューターを1年目、すなわち2018年度に購入する予定であった。しかし1年目の分配関数の計算において、用いたコードの大きな効率化に成功したため、高性能コンピューターの購入を2年目に延期することができた。
また2018年度には多くの研究会や学会で講演を行なったが、それらの多くが招待講演であったため、旅費が先方負担であることが多かった。このため、本科学研究費の使用を当初の予想額よりも抑えることができた。
2年目である2019年度には、1年目よりも複雑な分配関数の計算に加えて、「カイラル代数」を用いた計算も本格的に行う。このため、2019年度こそは高性能コンピューターの購入が必要である。特にカイラル代数の計算を現在進めている中で、当初の予測通り、大容量メモリと高速CPUを持つコンピューターの必要性が明らかになっているため、そのようなコンピューターを購入する予定である。
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