| 研究課題/領域番号 |
18K13547
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| 研究機関 | 立命館大学 |
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研究代表者 |
西中 崇博 立命館大学, 理工学部, 助教 (20773021)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 超対称性 / 共形場理論 / 双対性 / 超弦理論 |
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| 研究実績の概要 |
2019年度の研究成果は主に「クイバー・ゲージ理論の超共形指数に関する新発見」、「AD理論を含むゲージ理論の分配関数の計算」、「クラスS理論のカイラル代数の構成」の3つである。
まず「クイバー・ゲージ理論の超共形指数に関する新発見」に関しては、2018年度に発見した関係式を一般化することに成功し、超共形指数のシューア極限が変数変換で一致するような、無限個のクイバー・ゲージ理論のペアを発見した。これらのペアのうち片方は、物質場のセクターにAD理論を含むため、その性質の詳細は明らかにされていない。しかしもう片方は、ベクター多重項とハイパー多重項のみを含むよく知られたゲージ理論であり、その性質は局所化などの手法により比較的よく理解されている。今回の発見は簡単な後者を用いて難解な前者の双対性の解析を可能にする画期的なものであり、今後のさらなる発展が期待される。
つづいて「AD理論を含むゲージ理論の分配関数の計算」については、ゲージ化されたAD理論の分配関数を、本研究課題の申請書で提案した方法により計算した。この計算では、2018年度の研究成果により得られた「一般化されたAGT対応」に関する理解が大きな役割を果たした。またこの計算を可能にするためには、イレギュラー共形ブロックの特別な分解を見つける必要があったが、今回まさに本研究課題の申請書で提案した通りの分解法を発見したため、この計算が実行可能となった。特に最も簡単な具体例については、計算結果が双対性の制約を正しく満たすことを確認でき、大きな成功と言える。
最後に「クラスS理論のカイラル代数の構成」については、ジーナス2のクラスS理論のひとつに対応するカイラル代数の具体的構成に成功した。この具体的構成により、これまで知られていなかった新しい対称性が明らかになった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
本研究の目的は、AD理論の非摂動的性質、特に双対性を明らかにすることである。特に「分配関数」と「カイラル代数」を用いて、ゲージ化されたAD理論の双対性の詳細を明らかにすることを目指している。
このうち「分配関数」については、当初の計画通り、イレギュラー共形ブロックの特別な分解を用いて計算することに成功した。特に最も簡単な具体例においては、この分解を用いることで、インスタントン分配関数を6インスタントンまで計算することができた。これは「分配関数」の計算が計画通りに遂行されていることを意味する。なお申請書ではイレギュラー共形ブロックの分解が困難であった場合の別プランも提案したが、これを用いることなく計画を遂行できた。またこれに加えて、我々の分配関数の計算結果が、ザイバーグ・ウィッテン曲線から予想される双対性と完全に無矛盾であることも示すことができた。これらの成果については2020年度中に論文として発表する予定である。
さらに「カイラル代数」については、当初の計画よりも多くの理論について、超共形指数に関する新しい関係の存在を明らかにした。指数に関するこの関係は、これらの理論に対応する「カイラル代数」の間に非自明な関係があることを示唆しており、大変興味深い。この関係性は当初の計画では予想されていなかった新しいもので、ゲージ化されたAD理論の双対性を解明するための新たな方向性を提示している。実際我々の論文では、この新しい関係性を用いることによって、これまで計算できずにいた物理量を計算することに成功した。
このように「分配関数」に関しては当初の計画通りに研究が進み、「カイラル代数」に関しては当初の計画では予想していなかった新しい関係性まで明らかにできたため、全体として、本研究計画は当初の計画以上に進展していると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
まず「分配関数」については、2019年度の成果を論文にまとめつつ、2019年度に計算した「分配関数」のS変換のもとでの振る舞いを調べる。そのためには instanton part だけではなく perturbative part の寄与を正しく見積もる必要があると考えられる。ゲージ化されたAD理論の場合、通常とは異なり perturbative part の計算の方が難しいが、「分配関数」がS変換のもとで正しく振る舞うという要請により、instanton part から perturbative part を決定できるのではないかと期待している。
また2019年度には最も簡単な具体例について「分配関数」を計算したが、2020年度以降は同様の計算を一般化し、より多くの理論について「分配関数」を計算する。この場合、異なるAD理論をゲージ化したもの同士が双対性変換によって結びつくため、これらの理論の分配関数を計算することは非常に重要である。特に最初の一般化については、計算結果を検証する方法についての着想を2019年度に得たため、まずはその計算と検証を行う。
一方で「カイラル代数」に関しては、2019年度に発見したクイバー・ゲージ理論のペアについて、超共形指数のシューア極限だけでなく、「カイラル代数」の演算子のスペクトルが対応するかどうかを明らかにする。一般に超共形指数はボソン的演算子とフェルミオン的演算子の数の差を計算しているため、指数が一致しても演算子のスペクトルが一致するとは限らない。しかし幾つかの具体例については、指数だけでなく演算子のスペクトルも対応していることがわかっているので、この対応がどこまで一般化できるかを明らかにする。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
物品購入に関しては、2018年度の報告書に記した通り、「分配関数」と「カイラル代数」の計算のために高性能コンピューターを購入した。しかし旅費に関しては、昨年度と同様に研究会やセミナーでの講演の多くが招待講演であり、旅費が先方負担であることが多かった。このため全体として、本科学研究費の使用を当初の予想額よりも抑えることができた。
また年度末には、本科学研究費を使用して幾つかの国際研究会に参加し講演を行う予定であったが、新型コロナウイルスの影響により全ての講演が中止になってしまった。これも次年度使用額が生じた大きな理由のひとつである。
2020年度の使用計画としては、イタリアで開催される国際研究会に招待されているので、その旅費に大きな額を充てる予定である。ただし新型コロナウイルスの影響によっては、計画変更を余儀なくされる可能性もある。その場合には zoom 等を用いてオンラインで研究会に参加することになると予想されるので、そのための設備の整備に使用することを検討している。
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