2022 年度研究成果報告書

微分ホモトピー論の構築

研究課題

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研究課題/領域番号	18K18713
研究種目	挑戦的研究(萌芽)
配分区分	基金
審査区分	中区分11:代数学、幾何学およびその関連分野
研究機関	九州大学
研究代表者	岩瀬則夫九州大学, 数理学研究院, 教授 (60213287)
研究期間 (年度)	2018-06-29 – 2023-03-31
キーワード	Diffeology / Topology / Homotopy / Loop / Algebraic / Differential / Complex
研究成果の概要	まず微分空間の圏に於いて新しい微分形式を定め de Rham の定理を証明した。これは本来の微分形式を用いては得られないものである。またこれを用いて滑らかなCW複体に対しては本来の de Rham の定理が成立することを導いた。次に経路の結合についての A∞構造を解析する為に、(-∞,0] または [1,∞) 上で動かない経路のみを考察することで、「reflexive」な微分空間上では経路の結合が滑らかであることを示した。同時に「安定な結合」を導入し、一般の微分空間上でも経路の結合が滑らかとなることを示した。最後にすべての多様体を含む滑らかなCW複体の新たな概念を定式化した。
自由記述の分野	位相幾何学
研究成果の学術的意義や社会的意義	微分空間は通常は微分不可能と考えられる対象にも微分構造を導入して解析的な操作を可能にするもので、今後の理論の展開次第では数学全体に大きなインパクトを与えうるものだと考えます。特にホモトピー論に於いてはその基礎となる対象は連続性までしか考慮されて来ませんでしたが、微分空間を考えることによりこれらは【自然に】滑らかなものとみなされます。ただ、現状ではそういった読み替えの方法が幾通りもあり、その中で真に【簡明かつ自然】なものが何なのかについて知る必要があります。本研究では【簡明かつ自然】なものとしてホモトピー論と微分構造の間に橋を架けることを希求し、その幾つかについては達成できたと考えます。