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正則運動はリーマン球面上の集合の単射写像のある複素多様体をパラメーター空間とする正則族として定義される。これは、複素力学系におけるJulia集合の安定性の議論で導入されたもので、当初から擬等角写像と強い結びつきがあったものである。さらにBers-Roydenの定理もしくはその一般化から、パラメーター空間の各点のある近傍に制限すればそれはリーマン球面全体の正則運動として表現されるこ とが知られている。特にパラメーター空間が複素平面上の単位円板であるときには、Slodkowskiの定理から単位円板全体をパラメーター空間とするリーマン球面の正則族として表現される。
本年度では、一般化されたカントール集合が擬等角同値な場合にその最大歪曲度を評価した。異なるカントール集合でも，擬等角同値であれば、その二つのカントール集合の間には全平面の正則運動が存在することを示しており、この分野に新たな研究道具を与えるものになっている。特に、ショットキー群の極限集合と双曲複素力学系のジュリア集合の間の擬等角同値性は無限型 Riemann面の間の正則運動にも繋がり、今後の進展が見込まれると考えている。さらに、一般化されたカントール集合が標準的 な3分の1カントール集合と擬等角同値になるための必要十分条件を与えることに成功した。この条件は，記号力学系からも興味ある条件となっているため、今後 関連研究が進むと期待している。このような研究の過程で「一様領域」との強い関連性が発見された。このことも新たな研究の方向性が得られたものと認識している。また、双曲計量の変分問題との関連から、擬等角写像に関するある極値問題を考察した。そこで用いた手法は従来のものとは異なる新しいもので今後のお用を期待している。
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