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2018 年度 実施状況報告書

流体力学の近代数学解析

研究課題

研究課題/領域番号 18KK0072
研究機関京都大学

研究代表者

清水 扇丈  京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (50273165)

研究分担者 小薗 英雄  早稲田大学, 理工学術院, 教授 (00195728)
柳沢 卓  奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (30192389)
筒井 容平  信州大学, 学術研究院理学系, 助教 (40722773)
高田 了  九州大学, 数理学研究院, 准教授 (50713236)
研究期間 (年度) 2019-02-07 – 2023-03-31
キーワード流体方程式 / 関数解析 / 調和解析 / 実解析 / 微分幾何
研究実績の概要

3次元外部領域におけるLr-調和ベクトル場の次元を導いた. Lr-調和ベクトル場は法線方向が0である境界条件を課した空間Xrと, 接線方向が0である境界条件を課した空間Vrを考察した. どちらのベクトル場の次元も有限次元であるが, Xrの次元は1と無限大の間のrに対し, rに依存せず領域の境界の個数に等しい. Xrの基底はPoisson方程式の斉次Neumann境界問題の解によって構成し, この可解性はrに依存しない. しかしながらVrの次元は, 3/2より大きく無限未満のrに対しては空洞の個数に等しく, 1より大きく3/2以下の間のrに対しては空洞の個数-1であることが決定された. 3/2は3次元のPoisson方程式の斉次Dirichlet境界問題の可解性の閾値である. 3次元内部領域におけるLr-調和ベクトル場の次元は, Xrの次元は領域の穴の個数(第1Betti数)に等しく, 外部領域と同じであるが, Vrの次元は, rに依存せず, 1と無限大の間の全てのrに対し領域内部の空洞の個数(第2Betti数)に等しい. 即ち, 内部領域の場合は可積分指数に依存しないが, 外部領域の場合はVrの次元は可積分指数に依存する.
次に2次元外部領域におけるLr-調和ベクトル場の次元を導いた. 2次元の場合には, 90度回転させるとXrとVrは等しくなるため, 当然次元も等しくなる. XrとVrの次元は, 2より大きく無限未満のrに対しては空洞の個数に等しく, 1より大きく2以下の間のrに対しては空洞の個数-1であることが決定された. 2は2次元のPoisson方程式の斉次Dirichlet境界問題の可解性の閾値である.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

今年度の目標であった, 3次元外部領域におけるLr-調和ベクトル場の次元の決定, 2次元外部領域におけるLr-調和のベクトル場の次元の決定が達成でき, 現在論文投稿中であるため.

今後の研究の推進方策

当初計画通りに研究を遂行する. 具体的には, Lr-調和ベクトル場のHelmholtz-Wely 型分解定理を導出する. 内部領域の場合と異なり, 減少した空間次元数を考慮して修正を要する可能性がある. 調和ベクトル場の決定より,その補空間を構成するスカラーポテンシャルおよびベクトルポテンシャルの導出は, 楕円型方程式系境界値問題の可解性に帰着される. L2-空間においては, Hilbert空間上の正値双線形形式に関するLax-Milgramの定理が可解性に重要な役割を演じるが, 本研究班はすでに, 対応するBanach 空間における類似の存在定理を得ている. 従って, 解くべき楕円型方程式系境界値問題に付随する双線形形式が正定値になるべき閉部分空間の決定と, Fredholm の択一定理の条件である直交性(Banach 空間の場合は双対性)を検証する.

次年度使用額が生じた理由

交付決定から1ヶ月余りしかなく使用することが難しかったため, 次年度以降に計画的に使用することとした.

  • 研究成果

    (6件)

すべて 2019 その他

すべて 国際共同研究 (1件) 学会発表 (5件) (うち国際学会 2件、 招待講演 5件)

  • [国際共同研究] Technical University of Darmstadt(ドイツ)

    • 国名
      ドイツ
    • 外国機関名
      Technical University of Darmstadt
  • [学会発表] On the spaces of harmonic Lr-vector fields over exterior domains2019

    • 著者名/発表者名
      Taku Yanagisawa
    • 学会等名
      Maximal regularity and nonlinear PDE(RIMS共同研究(公開型)特別計画)
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] A sparse bound for an integral operator with wave propagator2019

    • 著者名/発表者名
      Yohei Tsutsui
    • 学会等名
      Workshop on Analysis in Kagurazaka 2019, 東京理科大学, 2019年 1月25-26日
    • 招待講演
  • [学会発表] Strongly stratified limit for the 3D inviscid Boussinesq equations2019

    • 著者名/発表者名
      Ryo Takada
    • 学会等名
      Maximal regularity and nonlinear PDE(RIMS共同研究(公開型)特別計画)
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Asymptotic limit of strong stratification for the 3D inviscid Boussinesq equations2019

    • 著者名/発表者名
      Ryo Takada
    • 学会等名
      Critical exponent and nonlinear evolution equations 2019, 東京理科大学,2019年2月21日--22日
    • 招待講演
  • [学会発表] Asymptotic limit of strong stratification for the 3D inviscid Boussinesq equations2019

    • 著者名/発表者名
      Ryo Takada
    • 学会等名
      第11回名古屋微分方程式研究集会, 名古屋大学,2019年3月14日--15日
    • 招待講演

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公開日: 2019-12-27  

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