| 研究課題/領域番号 |
18KK0072
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
清水 扇丈 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (50273165)
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| 研究分担者 |
小薗 英雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (00195728)
柳沢 卓 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (30192389)
筒井 容平 京都大学, 理学研究科, 准教授 (40722773)
高田 了 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (50713236)
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| 研究期間 (年度) |
2019-02-07 – 2023-03-31
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| キーワード | 流体方程式 / 関数解析 / 調和解析 / 実解析 / 微分幾何 |
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| 研究実績の概要 |
小薗-柳沢-清水は, Hieber教授, Seyfert博士との共同研究で, 3次元Euclid空間内の滑らかなコンパクトな曲面を境界に持つ外部領域において，Lr-ベクトル場のde Rham-Hodge-Kodaira型分解定理を考察した．ベクトル場の境界条件は境界に接するものVrと直交するものXrの2種類を対象とした．まず, これらの調和ベクトル場の空間が共に有限次元であることを示した．有界領域の場合と異なり空間Vrに関しては，領域の位相幾何学的な不変量（Betti数）と可積分指数rによって異なることも明らかにした．また任意のLr-ベクトル場が，調和部分とベクトルポテンシャル，スカラーポテンシャルのそれぞれの回転と勾配の和で表現できる分解定理を証明した．その分解の一意性の可積分指数r=2/3およびr=3を閾値として正当化されることを明らかにした．続いて, 3次元外部領域の境界が有限個の滑らかな閉曲面を連結成分にもつとき，それぞれの閉曲面上で境界条件を与えた場合に定常Navier-Stokes 方程式に解が存在するかという問題を考察した．境界データを領域全体のソレノイダルベクトル場に拡張し, その調和部分が十分小さいならば弱解が少なくともひとつ存在することを証明した．筒井は,n次元Euclid空間で外力項付きの非圧縮粘 Navier-Stokes 方程式を弱Ln 空間で考察し,弱解が強解となるための条件と, Stokes半群が初期時刻で強連続となるベクトル場の特徴付けを与えた. 高田は, 3次元無限層状領域における回転Navier-Stokes方程式の初期値問題を考察し，スケール臨界なSobolev空間における時間大域的適切性を証明した．回転速度を無限大とする特異極限において，同方程式の時間大域解が2次元Navier-Stokes方程式の時間大域解に収束することを証明した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の最大の目的であった, 3次元Euclid空間内の滑らかなコンパクトな曲面を境界に持つ外部領域において，Lr-ベクトル場のde Rham-Hodge-Kodaira型分解定理が完成したため．2次元の同分解定理は昨年度に完成している.
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は3次元および2次元におけるコンパクトな曲面を境界に持つ外部領域でのLr-ベクトル場のde Rham-Hodge-Kodaira型分解定理の応用に取り組む.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
Covid-19の影響により,外国出張ができない状況が続いている. コロナの規制が解除されれば, 国際研究集会への参加および招聘により研究打ち合わせを行う. 2021年度に予定されていて2022年度に延期となたRIMS研究集会"Analysis, Geometry and Stochastics on Metric Spaces"へもKunstmann教授他を招聘する予定である.
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