| 研究実績の概要 |
小薗-柳沢-清水は, Hieber教授, Seyfert博士との共同研究で, 3次元Euclid空間内の滑らかなコンパクトな曲面を境界に持つ外部領域において, 境界に接するものVrと直交するものXrの2種類のLr-調和ベクトル場を考察し, これらの調和ベクトル場の空間がすべての1<r<∞に対して共に有限次元であることを示した. L個の交わらない連結成分をもち, かつ各連結成分の種数をN_j（j=1,..., L）とするとき, Xrの次元はすべての1 < r < ∞に対して N=N_1+...+N_Lである. 一方, Vrの次元はr=3/2を閾値として, 1<r≦3/2のときL-1, 3/2<r<∞のとき Lである．非有界領域である外部領域においてLr-調和ベクトル場をL, Nという幾何学的な位相不変量で特徴づけたと共に, Vrはr=3/2を閾値としてその構造が変化することは，内部領域と外部領域における顕著な差異であるといえる. 小薗-清水はKunstmann教授との共同研究で, 双線形な非線形項をもつ非線形問題の解が, 線形方程式の最大正則性と双線形評価の仮定の下でパラメータトリックによりスケール不変な関数空間に属する解が時空間変数に関してで解析的であることを示した. 筒井は, 全空間R^n上で非圧縮 Navier-Stokes 方程式を考察した. 初期値が L^n に属する場合はそのノルムが小さいならば大域解が存在することが広く知られているが, そのノルムが小さくなくても, ある程度滑らかさがあれば局所解が存在することを示した. 高田は, 3次元全空間においてCoriolis力付き磁気流体力学方程式の初期値問題に関して研究を行った. スケール臨界なSobolev正則性をもつ初期速度場および初期磁場に対して, 回転速度が十分大きい場合の時間大域的適切性を証明した.
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