| 研究課題/領域番号 |
18KK0380
|
|---|
| 研究機関 | 東京大学 |
|---|
研究代表者 |
北山 貴裕 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (10700057)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2019 – 2021
|
| キーワード | 3次元多様体 / 位相不変量 / 表現 / 交叉形式 |
|---|
| 研究実績の概要 |
高次元線形表現の空間の幾何学を低次元トポロジーに応用する研究の展開と育成を図ることを目的として、基本群の線形表現の空間とその上の関数を与えるトーション不変量の情報から、3次元多様体を本質的に分解する部分曲面の分布の様子と複雑さを究明することに取り組んだ。当該年度は、トーション不変量と関連が深く、基本群の表現に付随して定まる位相不変量である、ねじれBlanchfield形式及びねじれ交叉形式の応用を追求した。
Stefan Friedl氏、Alexander Neumann氏、鈴木正明氏との共同研究において、3次元球面内の結び目のGordian距離のねじれBlanchfield形式による下からの評価を与えた。特に、二つの結び目に対して、一方の結び目ともう一方の結び目の鏡像の向きを反転したものとの連結和のねじれBlanchfield形式を考える。これはBorodzikとFriedlによる代数的結び目解消数に関する先行結果を一般化するものである。更に、我々はこの評価を用いて、最小交点数が10以下である幾つかの素な結び目の間のGordian距離を決定することに成功している。
また、レーゲンスブルク大学で開かれた、Seminar on foundations in 3-manifold topologyにおいて、円周上の曲面束であるような有限被覆空間を持つ3次元多様体についての講義を行うなど、当該分野における今後の国際的連携の基盤構築に繋がる学術交流を深めた。一方で、新型コロナウイルス感染症拡大の影響により、出張を伴う研究活動が大きく制限された。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
新たな展開として、特にねじれ交叉形式及びねじれBlanchfield形式に着目した、基本群の表現に付随する不変量の4次元トポロジーへの応用研究が進むことが期待される。一方で、トーション不変量を用いてThurstonノルムを捉える研究と、A多様体の情報から本質的曲面の境界スロープを捉える研究を進展させるために、レーゲンスブルク大学への再渡航が必要不可欠である。しかし、新型コロナウイルス感染症拡大の影響により、本研究課題の活動が大きく制限されており、渡航は困難である。また、Stefan Friedl氏と共同開催を計画していた国際研究集会を中止せざるを得ない状況であり、その他、研究打ち合わせ及び招待講演のための国内外の出張を取り止めている。
|
| 今後の研究の推進方策 |
新型コロナウイルス感染症拡大の影響により、研究の遂行に必要な海外渡航を行えないことが大きな問題である。今後の状況に応じて研究計画の見直しを行い、最終年度中の渡航が難しいようであれば、補助事業期間の延長を申請することを検討する。
共同研究者のStefan Friedl氏とは当面オンラインで研究連絡を行い、再渡航のための相談を続ける。また、本研究のテーマに基づいた（オンライン）セミナーを企画し、研究領域の育成・発展を図る。これまでに得られた成果を講演等により積極的に発信することを心掛け、研究を更に深める。
|
