| 研究課題/領域番号 |
18KK0386
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
眞崎 聡 大阪大学, 基礎工学研究科, 准教授 (20580492)
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| 研究期間 (年度) |
2019 – 2021
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| キーワード | 分散型方程式 / 散乱問題 / 非線形シュレディンガー方程式 / 定在波解 / 遷移現象 / 質量劣臨界 / 可積分系 / 定在波解の安定性解析 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では、質量劣臨界方程式における遷移現象を考察することを目的としている。そのために、近年発展が目覚ましい分野である「可積分系に対する新しい保存則とそれを用いた解析」からの知見を生かして未知の転換点の挙動を探る。
可積分系の理論でその存在が知られているある特殊解が、目的のものではないかと予想をし、それを確かめるべく研究を行った。その特殊解は可積分系の方程式である1次元３次非線形シュレディンガー方程式に対して存在が知られているが、本研究で考えたい方程式は違う次数を持ち可積分系の構造がない方程式である。そこで、この解の存在を可積分系のない他の次数の非線形シュレディンガー方程式へと拡張することを目標として設定した。これは、遷移現象という観点を抜きにしてそれ自身が非常に興味深い研究内容であると言える。それに向かって、可積分系で存在が知られている解を、可積分系の言葉ではなくより偏微分方程式論的な言葉によって理解することを中間的な目標として設定し研究を行った。
その研究を通し、不安定な解を構成する道具立て・理論が必要になることが判明した。その理論を構築するべく、線形ポテンシャルの拘束から逃れる定在波解の構成について考察した。この部分について解析の枠組みを与えることができた。
併せて、デルタポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式の定在波解の漸近安定性についての研究を行った。定在波解周りでの線形化作用素の解析、特にレゾナンスの有無に関する解析を行った。モデルの具体性を活かした新しい手法を考案し、いくつかの興味深い結果が得られた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
2019年9月からカリフォルニア大学ロサンゼルス校に長期滞在し、Monica Visan教授、 Rowan Killip 教授と共同研究を行った。研究の序盤は、様々な方向に可能性を模索した。予想以上の時間を要したが、次第に研究の道筋が見えてきた。実際に方向が固まって、計算を開始した時点で、ＣＯＶＩＤ－１９の影響により長期滞在を中断することになった。この研究では、いくつかの初歩的な結果が出た段階で停滞している状況である。
また、滞在中にミズーリ工科大学のJason Murphy 氏のもとを度々訪れ、デルタポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式の定在波解の漸近安定性に関する共同研究を行った。こちらに関しては、当初の想定を上回る成果が得られ、現在論文としてまとめている段階にある。そのほか、関連モデルの研究に関しては、期待通りの進捗が得られている。
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| 今後の研究の推進方策 |
Visan氏、Killip氏との議論を中心として研究を進めていたので、ＣＯＶＩＤ－１９の影響により長期滞在を中断せざるを得なくなったことによる影響は大きい。オンラインでの打ち合わせを行うことにより研究を継続するが、時期を見て短期となってももう一度滞在することが研究の推進の上では重要だと考える。また、別の対応策として研究計画の規模を適切に縮小し、中間的な結果を論文としてまとめることも検討する。
デルタポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式の安定性理論では予想以上に進展があり、さらにいくつかの発展が見込める状況にある。こちらにもう少し注力し、プロジェクト全体としての進捗が得られるようにする。
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