非線形分散型方程式における遷移現象とソリトンの安定性理論の研究

2021 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 18KK0386
• 研究機関: 大阪大学
• 研究代表者: 眞崎 聡 大阪大学, 基礎工学研究科, 准教授 (20580492)
• 研究期間 (年度): 2019 – 2021
• キーワード: 分散型方程式 / 非線形散乱問題 / 非線形シュレディンガー方程式 / 定在波解の安定性解析 / 解の大域ダイナミクス / 励起状態解 / ソリトン解 / 長距離散乱

研究実績の概要

質量劣臨界にあたる非線型シュレディンガー方程式に対して、大域挙動の転換点となる解の解明を目標に研究を行った。可積分系では存在が知られているもののこれまで注目されていないある特殊解について、その偏微分方程式論の観点からの理解・取り扱いを確立し、可積分系以外の方程式へその解の存在・非存在を論じることを目標として研究を行った。この研究は、新しい知見を創出する挑戦的な研究であり、対面での打ち合わせが欠かせないものである。今年度は、再び短期の滞在を行うことを希望しCOVID-19の流行の状況を注視していたが、結果として改善することはなく再度の滞在は叶わず、期待通りに研究を進められなかった。
一方、関連研究であるソリトンの安定性理論に関する研究では著しい成果を得ることができた。それは、線形ポテンシャルを持つ非線型シュレディンガー方程式の時間大域挙動の研究に関するものである。線形ポテンシャルの影響を加味したシュレディンガー作用素が負の固有値を持つ場合、その固有関数の摂動として、小さなソリトン解が現れる。ここでは、固有値が一つだけの場合を考察し、固有値に由来する小さな安定ソリトンと、非線型シュレディンガー方程式に由来する不安定な励起状態が存在する場合を考察した。この状況において、質量が小さいという仮定のもと第一励起状態より小さいエネルギーを持つ解の挙動を分類することができた。この結果はソリトンの安定性理論および解の時間大域ダイナミクスの研究において重要な進展であると考えている。現在は、論文としてまとめ投稿中の段階にある。
また、並行して進めていた長距離散乱の理論に関しても期待以上の進展が得られた。前年度に構築した方程式系の標準化の理論を発展させ、非線型シュレディンガー方程式のシステムに応用した。その結果、これまで調べられていないシステムを特定し、新しいタイプの挙動を発見した。

研究成果

• [国際共同研究] University of California, Los Angeles(米国) (2019)
  • 年月日: 2019-09-08 – 2020-05-12
  • 国名: 米国
  • 外国機関名: University of California, Los Angeles
  • 主な海外共同研究者名: Monica Visan
  • 部局: Department of Mathematics
  • 職名: Professor
• [雑誌論文] Asymptotic behavior in time of solution to system of cubic nonlinear Schr\"odinger equations in one space dimension (2022)
  • 著者名/発表者名: Satoshi Masaki, Jun-ichi Segata, Kota Uriya
  • 雑誌名: Transactions of the American Mathematical Society 巻: - ページ: -
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] A sharp scattering threshold level for mass-subcritical nonlinear Schr?dinger system (2021)
  • 著者名/発表者名: Hamano Masaru、,Department of Mathematics, Graduate School of Science and Engineering, Saitama University, 255 Shimo-Okubo, Sakura-ku, Saitama-shi, Saitama, 338-8570, Japan、Masaki Satoshi、,Department of Systems Innovation, Graduate School of Engineering Science, Osaka University, Toyonaka, Osaka, 560-8531, Japan
  • 雑誌名: Discrete & Continuous Dynamical Systems - A 巻: 41 ページ: 1415～1447
  • DOI: 10.3934/dcds.2020323
  • 査読あり
• [学会発表] 3 次非線形方程式系の分類について (2022)
  • 著者名/発表者名: 眞崎聡、瀬片純市、瓜屋航太
  • 学会等名: 日本数学会2022年度年会
• [学会発表] ある非線形クラインゴルドン方程式系の解の漸近挙動について (2022)
  • 著者名/発表者名: 眞崎聡、瀬片純市、瓜屋航太
  • 学会等名: 日本数学会2022年度年会