モジュライと代数的サイクルをめぐる代数多様体の数理

2011 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 19104001
• 研究機関: 法政大学
• 研究代表者: 桂 利行 法政大学, 理工学部, 教授 (40108444)
• 研究分担者: 斎藤 毅 東京大学, 数理科学研究科, 教授 (70201506) ; 齋藤 秀司 東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (50153804) ; 寺杣 友秀 東京大学, 数理科学研究科, 教授 (50192654) ; 向井 茂 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (80115641) ; 金銅 誠之 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (50186847) ; 中村 郁 北海道大学, その他部局等, 名誉教授 (50022687) ; 石井 志保子 東京大学, 数理科学研究科, 教授 (60202933) ; 石田 正典 東北大学, 理学研究科, 教授 (30124548)
• キーワード: 代数幾何 / モジュライ / 代数的サイクル / 代数多様体 / K3曲面 / カラビ・ヤウ多様体 / アーベル多様体 / 国際研究者交流（オランダ）

研究概要

研究代表者は、海外共同研究者G. van der Geerと正標数の代数多様体の不変量であるa-数、h-数の概念を一般化し、さらにb-数を定義し、それらの不変量の関係をあきらかにし、論文にまとめて発表した。新しく定義したa-数はF. Oortが群スキームα_pを用いて定義したものとアーベル多様体に対しては一致する。新しく定義したh-数は、代数多様体のn次のArtin-Mazur形式群がpro-representableならば、その形式群の高さと一致する。カラビ・ヤウ多様体とそのモジュライ空間への応用として、rigidであればh-数は1か無限大のいずれかになることが示せる。具体的な例として、Fermat曲面のa-数を計算した。また、研究代表者は分担者金銅誠之との共同研究として、標数3の代数的閉体上定義された超特殊K3曲面上の代数的サイクルを研究し、有理曲線のなすconfigurationとして(16)_{10}-configurationが存在することを示した。複素数体上の単純なアーベル曲面から作られるクンマー曲面の場合には1907年に同様のconfigurationが存在することをTraynaudが示している。点と有理曲線のなすものとして(280_4, 112_{10})-configurationが存在することも示せる。これらの結果はLeech 格子と関係しており、K3曲面のPicard格子に112個のLeechルートが存在することと対応している。2012年２月18日―22日には東京大学大学院数理科学研究科において、国際会議Arithmetic and Algebraic Geometry 2012を開催し、成果を発表するとともに情報を交換した。分担者向井茂は、自己同型群がalmost abelianなエンリケス曲面を分類し、斎藤秀司は加藤予想のひとつを解決した。

現在までの達成度 (区分)

理由

24年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

24年度が最終年度であるため、記入しない。

研究成果

• [雑誌論文] Relations between some invariants of algebraic varieties in positive characteristic (2013)
  • 著者名/発表者名: G. van der Geer and T. Katsura
  • 雑誌名: Rend. Circ. Mat. Palermo 巻: 62 ページ: 111-125
  • DOI: 10.1007/s12215-013-0112-z
  • 査読あり
• [雑誌論文] Rational curves on the supersingular K3 surface with Artin invariant 1 in characteristic 3 (2012)
  • 著者名/発表者名: T. Katsura and S. Kondo
  • 雑誌名: J. Algebra 巻: 352 ページ: 299-321
  • DOI: 10.1016/j.jalgebra.2011.10.047
  • 査読あり
• [雑誌論文] Ramification of local fields with imperfect residue fields III (2012)
  • 著者名/発表者名: T. Saito
  • 雑誌名: Mathematische Annalen 巻: 352 ページ: 567-580
  • DOI: 10.1007/s00208-011-0652-5
  • 査読あり
• [雑誌論文] Igusa quartic and Steiner surfaces (2012)
  • 著者名/発表者名: S. Mukai
  • 雑誌名: Contemp. Math. 巻: 564 ページ: 205-210
  • DOI: 10.1090/conm/564/11171
  • 査読あり
• [雑誌論文] Kummer's quartics and numerically reflective involutions of Enriques surfaces (2012)
  • 著者名/発表者名: S. Mukai
  • 雑誌名: J. Math. Soc. Japan 巻: 64 ページ: 231-246
  • DOI: 10.2969/jmsj/0641023
  • 査読あり
• [雑誌論文] Moduli of Abelian varieties and their compactifications (2012)
  • 著者名/発表者名: I.Nakamura
  • 雑誌名: 第56回代数学シンポジウム報告集 巻: - ページ: 1-16
• [雑誌論文] Jet schemes of homogeneous hypersurfaces (2012)
  • 著者名/発表者名: S. Ishii, A.Sannai and K-i.Watanabe
  • 雑誌名: The Proceedings of Franco-Japanese Symposium on Singularities VI 巻: - ページ: 39-49
  • DOI: 10.4171/118-1/3
  • 査読あり
• [雑誌論文] Varieties of lines on Fermat hypersurfaces (2012)
  • 著者名/発表者名: T.Terasoma
  • 雑誌名: Advanced Studies in Pure Math. 巻: 62 ページ: 459-474
  • 査読あり
• [雑誌論文] Cohomological Hasse principle and motivic cohomology of arithmetic schemes (2012)
  • 著者名/発表者名: M. Kerz and S. Saito
  • 雑誌名: Publ. Math. IHES 巻: 115 ページ: 123-183
  • DOI: 10.1007/s10240-011-0038-y
  • 査読あり
• [雑誌論文] Bertini theorems and Lefschetz pencils over discrete valuation rings, with applications to higher class field theory (2012)
  • 著者名/発表者名: U. Jannsen and S. Saito
  • 雑誌名: J. of Algebraic Geometry 巻: 21 ページ: 683-705
  • DOI: 10.1090/S1056-3911-2012-00570-0
  • 査読あり
• [雑誌論文] The moduli space of Hessian quartic surfaces and automorphic form (2012)
  • 著者名/発表者名: S. Kondo
  • 雑誌名: Journal of Pure and Applied Algebra 巻: 216 ページ: 2233-2240
  • DOI: 10.1016/j.jpaa.2012.02.001
  • 査読あり
• [雑誌論文] Moduli of plane quartics, Goepel invariants and Borcherds products (2011)
  • 著者名/発表者名: Shigeyuki Kondo
  • 雑誌名: International Mathematics Research Notices 巻: vol.2011, No.12 ページ: 2825-2860
  • DOI: DOI:10.1093/imrn/rnq190
  • 査読あり
• [雑誌論文] Geometric properties on jet schemes (2011)
  • 著者名/発表者名: S.Ishii
  • 雑誌名: Comm. Alg. 巻: 39 ページ: 1872-1882
  • DOI: DOI:10.1080/00927872.2010.480954
  • 査読あり
• [雑誌論文] The moduli of curves of genus 6 and K3 surfaces (2011)
  • 著者名/発表者名: Michela Artebani and Shigeyuki Kondo
  • 雑誌名: Trans. Amer. Math. Soc. 巻: 363 ページ: 1445-1462
  • DOI: 10.1090/S0002-9947-2010-05126-8
  • 査読あり
• [雑誌論文] The Artin-Schreier DGA and the Fp fundamental group of an Fp scheme (2011)
  • 著者名/発表者名: T. Terasoma
  • 雑誌名: Studies in Mathemtaics, Tata Institute of Fundamental Research 巻: 21 ページ: 493-530
  • DOI: abs/0905.1758
  • 査読あり
• [学会発表] Introduction to wild ramification of schemes and sheaves (2012)
  • 著者名/発表者名: Y. Mieda and T. Saito
  • 学会等名: Arizona Winter School 2012: Ramification and Geometry
  • 発表場所: University of Arizona, USA
  • 年月日: 20120310-20120314
  • 招待講演
• [学会発表] Applications of arc spaces to birational geometry I, II (2011)
  • 著者名/発表者名: S. Ishii
  • 学会等名: Workshop Artin Approximation and Arcs
  • 発表場所: Ervin Schlessinger Institut Vienna, Austria
  • 年月日: 20111119-20111120
  • 招待講演
• [学会発表] K3 and Enriques surfaces (2011)
  • 著者名/発表者名: S. Kondo
  • 学会等名: Workshop on Arithmetic and Geometry of K3 surfaces and Calabi-Yau threefolds
  • 発表場所: The Fields Institute, Toronto, Canada
  • 年月日: 20110817-20110818
  • 招待講演
• [学会発表] Configurations of rational curves on the supersingular K3 surfacewith Artin invariant 1 in characteristic 3
  • 著者名/発表者名: T. Katsura
  • 学会等名: Workshop on Algebraic Geometry in Positive Characteristic
  • 発表場所: KIAS, Korea
  • 招待講演
• [学会発表] On a configuration of curves on the superspecial abelian surface in characteristic 3
  • 著者名/発表者名: T. Katsura
  • 学会等名: 2011 Taiwan-Japan Workshop on Arithmetic Algebraic Geometry and Related Topic
  • 発表場所: Academia Sinica, Taiwan
  • 招待講演
• [学会発表] The h-invariant in positive characteristic
  • 著者名/発表者名: T. Katsura
  • 学会等名: Arithmetic and Algebraic Geometry 2012
  • 発表場所: 東京大学大学院数理科学研究科（東京都）
• [学会発表] A Riemann-Roch formula for l-adic sheaves on varieties over a local field
  • 著者名/発表者名: T. Saito
  • 学会等名: Geometric Langlands Seminar
  • 発表場所: University of Chicago, USA
  • 招待講演
• [学会発表] Discriminant and determinat of a hypersurface of even dimension
  • 著者名/発表者名: T. Saito
  • 学会等名: Number Theory Seminar
  • 発表場所: University of Chicago, USA
  • 招待講演
• [学会発表] Discriminant and determinat of a hypersurface of even dimension
  • 著者名/発表者名: T. Saito
  • 学会等名: Arithmetic and Algebraic Geometry 2012
  • 発表場所: 東京大学大学院数理科学研究科（東京都）
• [学会発表] l進コホモロジーのStiefel-Whitney類
  • 著者名/発表者名: T. Saito
  • 学会等名: 東北大学代数幾何セミナー
  • 発表場所: 東北大学数学棟 208号室（宮城県）
  • 招待講演
• [学会発表] フェルマーの最終定理 ー その証明の主役たち
  • 著者名/発表者名: T. Saito
  • 学会等名: 中央大学数学科談話会
  • 発表場所: 中央大学後楽園キャンパス６号館（東京都）
  • 招待講演
• [学会発表] Discriminant and determinant of a hypersurface of even dimension
  • 著者名/発表者名: T. Saito
  • 学会等名: 代数学コロキウム
  • 発表場所: 東京大学大学院数理科学研究科（東京都）
• [学会発表] 多変数多項式の終結式と判別式
  • 著者名/発表者名: T. Saito
  • 学会等名: 仙台シンポジウム
  • 発表場所: 東北大学大学院情報科学研究科（宮城県）
  • 招待講演
• [学会発表] 偶数次元の超曲面の判別式と行列式
  • 著者名/発表者名: T. Saito
  • 学会等名: 仙台シンポジウム
  • 発表場所: 東北大学大学院情報科学研究科（宮城県）
  • 招待講演
• [学会発表] Discriminant and determinant of a hypersurface of even dimension
  • 著者名/発表者名: T. Saito
  • 学会等名: Une Apres-Midi de Geometrie Arithmetique
  • 発表場所: IHES, France
  • 招待講演
• [学会発表] Second Stiefel-Whitney class of l-adic cohomology
  • 著者名/発表者名: T. Saito
  • 学会等名: Geometrie Arithmetique et Motivique
  • 発表場所: CIRM, Luminy, France
  • 招待講演
• [学会発表] Discriminant and the determinant of a complete intersection
  • 著者名/発表者名: T. Saito
  • 学会等名: Workshop on Arithmetic Geometry 2011
  • 発表場所: Okinawa Shogaku, Okinawa, Japan
  • 招待講演
• [学会発表] Discriminant and determinant of a hypersurface of even dimension
  • 著者名/発表者名: T. Saito
  • 学会等名: 2011 Japan-Taiwan Mini workshop on Arithmetic Algebraic Geometry and related topic
  • 発表場所: Academia Sinica, Taiwan
  • 招待講演
• [学会発表] K3 surfaces of genus 17
  • 著者名/発表者名: S. Mukai
  • 学会等名: Conference on Moduli Spaces
  • 発表場所: Cambridge, UK
  • 招待講演
• [学会発表] Enriques surfaces and root systems
  • 著者名/発表者名: S. Mukai
  • 学会等名: Arithmetic and Geometry of K3 surfaces and Calabi-Yau Threefolds
  • 発表場所: The Fields Inst. Res. Math. Sci., Toronto, Canada
  • 招待講演
• [学会発表] Automorphisms of Enriques surfaces and the Mathieu group M12
  • 著者名/発表者名: S. Mukai
  • 学会等名: Periods and Moduli
  • 発表場所: Seoul, Korea
  • 招待講演
• [学会発表] Enriques surfaces and integral lattices
  • 著者名/発表者名: S. Mukai
  • 学会等名: Arithmatic and Algebraic Geometry 2012
  • 発表場所: 東京大学大学院数理科学研究科（東京都）
• [学会発表] Orthogonal Grassmannians and K3 surfaces of genus 18
  • 著者名/発表者名: S. Mukai
  • 学会等名: Algebraic Geometry of higher dimensional varieties and vector bundles
  • 発表場所: Kyushu University, Fukuoka, Japan
  • 招待講演
• [学会発表] K3 曲面の幾何と Leech 格子
  • 著者名/発表者名: 金銅誠之
  • 学会等名: 日本数学会年会 2012 特別講演
  • 発表場所: 東京理科大学（東京都）
  • 招待講演
• [学会発表] The rationality of the moduli spaces of Coble surfaces and of nodal Enriques surfaces
  • 著者名/発表者名: S. Kondo
  • 学会等名: Arithmetic and Algebraic Geometry 2012
  • 発表場所: 東京大学大学院数理科学研究科（東京都）
• [学会発表] The moduli spaces of hessian quartic surfaces, Enriques surfaces, and automorphic forms
  • 著者名/発表者名: S. Kondo
  • 学会等名: Automorphic forms and Moduli spaces 2011
  • 発表場所: CIRM, Luminy, France
  • 招待講演
• [学会発表] Maximal subgroups of the Mathieu group M_{23} and symplectic automorphisms of supersingular K3 surfaces
  • 著者名/発表者名: S. Kondo
  • 学会等名: 代数幾何ワークショップ2011
  • 発表場所: 法政大学理工学部（東京都）
• [学会発表] K3曲面の幾何と Leech 格子
  • 著者名/発表者名: 金銅誠之
  • 学会等名: 熊本大学理学部数学教室談話会
  • 発表場所: 熊本大学（熊本県）
  • 招待講演
• [学会発表] Cohomological Hasse principle and McKay principle
  • 著者名/発表者名: S. Saito
  • 学会等名: Arithmetic and Algebraic Geometry 2012
  • 発表場所: 東京大学大学院数理科学研究科（東京都）
• [学会発表] Cohomological Hasse principle and McKay principle
  • 著者名/発表者名: S. Saito
  • 学会等名: Algebraic Cycles and L-Functions
  • 発表場所: Johannes Kepler Research Center, Regensburg, Germany
  • 招待講演
• [学会発表] アーベル多様体のモジュライとそのコンパクト化
  • 著者名/発表者名: 中村 郁
  • 学会等名: 第56回代数学シンポジウム
  • 発表場所: 東京大学大学院数理科学研究科（東京都）
  • 招待講演
• [学会発表] Finite group schemes and moduli of abelian varieties
  • 著者名/発表者名: Iku Nakamura
  • 学会等名: Arithmetic and Algebraic Geometry 2012
  • 発表場所: 東京大学大学院数理科学研究科（東京都）
• [学会発表] Arc spaces now
  • 著者名/発表者名: S. Ishii
  • 学会等名: 研究集会「特異点とそのひろがり」
  • 発表場所: 京都大学理学部（京都府）
  • 招待講演
• [学会発表] The arc space of a variety
  • 著者名/発表者名: S. Ishii
  • 学会等名: 幾何学シンポジウム
  • 発表場所: 山口大学（山口県）
  • 招待講演
• [学会発表] Multiplier ideal via Mather discrepancy
  • 著者名/発表者名: S. Ishii
  • 学会等名: 6th Franco-Japanese symposium on Singularities
  • 発表場所: 九州大学（福岡県）
  • 招待講演
• [学会発表] Geometry of arc space and algebraic geometry
  • 著者名/発表者名: S. Ishii
  • 学会等名: 2011年度代数学賞受賞特別講演
  • 発表場所: 信州大学（長野県）
  • 招待講演
• [学会発表] Jet closures and local isomorphism problem
  • 著者名/発表者名: S. Ishii
  • 学会等名: Arithmetic and Algebraic Geometry 2012
  • 発表場所: 東京大学大学院数理科学研究科（東京都）
• [学会発表] Groebner basis for cusp singularities of toric type
  • 著者名/発表者名: 石田 正典
  • 学会等名: Arithmetic and Algebraic Geometry 2012
  • 発表場所: 東京大学大学院数理科学研究科（東京都）
• [備考] 桂利行
  • URL: http://kat.k.hosei.ac.jp/