| 研究概要 |
ガウスの超幾何函数に付随するモノドロミー群の研究は古典的なものであって,多くの成果が得られているが,いろんな意味でのgenericity条件から外れる場合の考察は,不十分なものであった.このような状況に鑑み,積分表示解からの観点からの研究を行った.具体的には,被積分函数の指数を使った共鳴条件の決定,表現の既約性の必要十分条件の決定,共鳴条件下(=可約表現の場合)でのモノドロミー表現の具体的実現,可約表現が有限群になる場合の分類を行った。また,これをきっかけに,指数がいかなる場合であっても積分表示解で議論できるという状況を整えるためには,積分域が,輪体だけでなく,輪体とはならないチェインをも取り込む必要があることが明確になったのであるが,ホモロジー・コホモロジーでは捉えきれない場合があるということが明らかになったことは,意義深いと思われる。そして,そのようなものも込めて,あらためて,ガウスの微分方程式の積分表示解をいかに得るかという基本的問題を解決した.この研究は,佐々木武(神戸大名誉教授)との共同研究によるものであるが,ガウスの超幾何函数を一般化した,アッペルのF_1超幾何函数(2変数函数)についても,同様な結果を得たし,さらにLauricellaのF_D超幾何函数(n変数)の場合にも,モノドロミー表現が既約になることの必要十分条件を決定した.また,吉田正章(九大・数理),御前憲廣(日大・理工),佐々木との共同研究により,見かけのモノドロミー群と真のモノドロミー群との関係を調べ始め,現在も進行中である.
Even 4と呼ばれる微分方程式の解の接続問題を原岡喜重(熊大・自然)との共同研究により解いたが,その結果をさらに分析することにより,重複度のある解が関わる部分の接続係数が,ある構造をもつことが分かってきた.現在もその分析を続けている.
アクセサリー・パラメタの無いフックス型微分方程式において,横山利章(千葉工大)の分類したリストは,系統的に議論できる数少ない例になっている.代表者は,この系列のすべてに対して,すでに積分表示解を与えているが,さらに,その微分方程式の具体的導出を行った.今後の実験材料に資すると期待する.
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