特殊函数の現代的発展-表現論と複素積分からのアプローチ

2010 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 19340004
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 三町 勝久 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (40211594)
• 連携研究者: 吉田 正章 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (30030787) ; 黒川 信重 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (70114866) ; 高田 敏恵 九州大学, 大学院・数理学研究院, 准教授 (40253398)
• 研究期間 (年度): 2007 – 2010
• キーワード: ねじれホモロジー / 積分表示 / 接続問題 / 超幾何函数 / 交叉数 / モノドロミー / ジョーンズ多項式 / ヘッケ代数

研究概要

共形場理論にも現れる,あるSelberg型積分についての,接続問題を解いた.その接続係数はq-Racah多項式という直交多項式による表示をもつことが示された.これとは別に,線形微分方程式の解の接続問題が,ねじれホモロジーの交叉数の計算とある種の定積分の計算に帰着できるということを発見し,一般超幾何函数の場合に具体的に実行してみせた.また,Jones多項式をSelberg型積分に付随するねじれホモロジーの交叉数を用いて定式化し,いくつの代表的なノットについての具体的表示を導いた.

研究成果

• [雑誌論文] The Jones polynomial and the intersection numbers of twisted cycles associated with a Selberg type integral (2011)
  • 著者名/発表者名: K.Mimachi
  • 雑誌名: J.of Knot Theory and Its Ramifications 20 ページ: 469-496
  • 査読あり
• [雑誌論文] Connection matrices associated with the generalized hypergeometric function _3F_2 (2008)
  • 著者名/発表者名: K.Mimachi
  • 雑誌名: Funkt.Ekvac. 51 ページ: 107-133
  • 査読あり
• [雑誌論文] Jackson's integral of the Hurwitz zeta function (2007)
  • 著者名/発表者名: Nobushige Kurokawa, K.Mimachi, Masato Wakayama
  • 雑誌名: Rendiconti del circolo atematico di Palermo 56 ページ: 43-56
  • 査読あり
• [雑誌論文] Regularizable cycles associated with a Selberg-type integral under some resonance condition (2007)
  • 著者名/発表者名: K.Mimachi, Masaaki Yoshida
  • 雑誌名: Internat.Jour.Math. {\bf 18} ページ: 395-409
  • 査読あり
• [雑誌論文] The connection problem associated with a Selberg type integral and the q-Racah polynomials
  • 著者名/発表者名: K.Mimachi
  • 雑誌名: Forum Mathematicum 掲載予定
  • 査読あり
• [雑誌論文] A connection problem for Simposon's even family of rank four
  • 著者名/発表者名: K.Mimachi, Yoshishige Haraoka
  • 雑誌名: Funkt.Ekvac. 掲載予定
  • 査読あり
• [雑誌論文] Solutions for some families of Fuchsian differential equations free from accessory parameters in terms of the integral
  • 著者名/発表者名: K.Mimachi
  • 雑誌名: the Proceedings of the 2nd MSJ-SI "Arrangements of Hyperplanes" as a volume in the series of the Advanced Studies in Pure Mathematics 掲載予定
  • 査読あり
• [学会発表] 超幾何型函数のモノドロミ-表現の既約条件 (2011)
  • 著者名/発表者名: 三町勝久
  • 学会等名: 超幾何方程式研究会2011
  • 発表場所: 神戸大学
  • 年月日: 20110105-20110107
• [学会発表] Connection formulas of the solutions of Fuchsian differential equations and intersection numbers of twisted cycles (2010)
  • 著者名/発表者名: 三町勝久
  • 学会等名: International conference on Analysis, Geometry and Group Representations for Homogeneous Spaces
  • 発表場所: Lorentz center, Leiden, Netherlands
  • 年月日: 20101122-20101126
• [学会発表] Twisted de Rham theory-resonances and the non-resonance (2010)
  • 著者名/発表者名: 三町勝久
  • 学会等名: 研究集会「BC系とAGT予想の周辺」
  • 発表場所: 東大数理.
  • 年月日: 20100911-20100914
• [学会発表] Intersection numbers of twisted cycles and the connection problem for the Fuchsian diferential equations (2010)
  • 著者名/発表者名: 三町勝久
  • 学会等名: 超幾何方程式研究会2010
  • 発表場所: 神戸大学
  • 年月日: 20100105-20100107
• [学会発表] Intersection numbers of twisted cycles and the connection problem for the Fuchsian differential equations (2009)
  • 著者名/発表者名: 三町勝久
  • 学会等名: Workshop ``q-Representation theory.
  • 発表場所: Univ.Aarhus
  • 年月日: 20091209-20091210
• [学会発表] Arrangements of hyperplanes and solutions of the Fuchsian diferential equations free from accessory parameters (2009)
  • 著者名/発表者名: 三町勝久
  • 学会等名: Mathematical Society of Japan Seasonal Institute 2009 on Arrangements of Hyperplanes
  • 発表場所: 北海道大学.
  • 年月日: 20090801-20090813
• [学会発表] Topics around the integrals related with the present workshop (2009)
  • 著者名/発表者名: 三町勝久
  • 学会等名: Workshop on Accessory Paramaters
  • 発表場所: 東京大学玉原国際セミナーハウス(群馬県沼田市玉原高原)
  • 年月日: 20090618-20090622
• [学会発表] 一般超幾何函数の接続公式,ねじれホモロジーの交叉数 (2009)
  • 著者名/発表者名: 三町勝久
  • 学会等名: 数理研短期共同「微分方程式のモノドロミ─をめぐる諸問題」
  • 発表場所: 京都大学数理解析研究所
  • 年月日: 20090203-20090206
• [学会発表] セルバーグ型積分に付随するサイクルと量子群 (2008)
  • 著者名/発表者名: 三町勝久
  • 学会等名: 第11回 代数群と量子群の表現論 研究集会
  • 発表場所: 岡山県青年会館
  • 年月日: 20080525-20080528
• [学会発表] The connection problem associated with a Selberg type integral and the q-Racah polynomials (2008)
  • 著者名/発表者名: 三町勝久
  • 学会等名: 研究集会「超平面配置のさまざまな側面(Several Aspects of Hyperplane Arrangements) 」
  • 発表場所: 神戸大\自然科学
  • 年月日: 20080204-20080205
• [学会発表] The connection problem associated with a Selberg type integral and the q-Racah polynomials (2007)
  • 著者名/発表者名: 三町勝久
  • 学会等名: School on Algebraic Approach on Differential Equations
  • 発表場所: Bibliotheca Alexandrina, Alexandra Egypt.
  • 年月日: 20071112-20071123
• [備考] ホームページ等
  • URL: http://www.math.titech.ac.jp/~mimachi/mimachi.html