| 研究概要 |
固有ケーラー射f:X→YとX上の中野半正なエルミートベクトル束(E, h)に対して,高次順層F=R^qf_*K_〔X/Y〕(E)の正値性について,これまでに得た結果をより一般化するような研究を行った.以下,記述があまり技術的にならないようにFは局所自由であると仮定する. X のケーラー形式 w を一つ固定する. p:P(F)→YをFに付随した射影空間束とし, L=0(1)を普遍商直線束とする.自然な全射 p^*F → L がある. fはザリスキー開集合Y-Dの上では滑らかとする.前年度の研究から Y-D上ではFはwとhに関するホッジ計量gにより中野半正である. Y-DにおいてはLにp^*gの商エルミート計量g_L^oを入れる.これは半正の曲率をもつ.主結果は,このg_L^oが曲率が半正を保ったままで L 全体の特異エルミート計量 g_Lに拡張できる,というものである.
関連する結果が代数幾何において知られている.今年度の研究の独創的な点は,これまでの代数幾何的証明との違いにある.以下その違いについて述べる.代数幾何的証明ではホッジ構造の変形理論が鍵である.従って,ベクトル束 E とのテンソル積は一般には考えられない,もしくは E が自明な場合に帰着できる設定でないといけない.一方,この研究ではホッジ構造の変形理論は用いない.さらに E が自明な場合に帰着できない設定でもよい.さらにF=R^qf_*K_〔X/Y〕(E)の半正値性はより具体的な,標準的に構成されるホッジ計量gにより与えられている.代数幾何的証明では抽象的な半正値性のみである.この結果を海外研究協力者のMourougane氏との共著としてまとめた.
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