| 研究概要 |
放物型方程式の解の形状に絡み,半線形熱方程式の爆発集合の位置の特徴付け,低階項付き熱方程式の解の最大点挙動の研究を行う一方,非線形熱方程式の大域解の挙動,特に漸近形の分類,解の高次漸近展開と解との誤差評価等の研究も行った.特に以下の事柄について研究を行った.
1.半線形熱方程式の爆発問題に対して,藤嶋陽平氏と共同研究を行い,拡散係数が十分小さいならば,爆発集合は初期値の最大点の近くにのみ存在することを証明した.これは,同時に,爆発時刻直前の解の形状,特に最大点の周りの形状を調べることができるならば,爆発集合の位置について調べることができることを示唆する.これに基づき,定数関数への摂動といった形の初期値に対して,拡散係数を大きくしていくと爆発集合は線形熱方程式の最大点挙動によって特徴付けられることや拡散係数が小さい場合の初期値の最大点におけるグラフの平均曲率と爆発集合の関係を明らかにした.
2.壁谷喜継氏と共にポテンシャル項付き熱方程式の解の最大点挙動について前年度に続き研究を行った.特に,これまでの研究とはポテンシャルの符号が逆の場合について研究を行った.結果として,作用素の非負値性,正値解の構造等の興味深い数学的事柄との関連が明らかになった.
3.半線形熱方程式の解の高次漸近展開について川上竜樹氏と共同研究を行った.半線形熱方程式の解は,適当な条件の下,熱核のように振る舞うことが知られているが,そのような解の高次漸近展開を行った.これは,解の全熱量が保存しない場合についても熱核のように振る舞う解の高次展開が可能であることを示した初めての結果である.
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