| 研究概要 |
本年度は以下の成果を得た.項目番号は交付申請書に記載した課題の番号に対応する.
(a),(b):A_2+A_1)^<(1)>型アフィンワイル対称性を持つ離散パンルヴェ系を例に,ワイル群の表現を駆使して超幾何τ函数を完全に決定して退化の構造を詳細に議論した.応用上重要な特殊解である超幾何解に関して知られていた一種の不整合の構造を完全に解明し,そこから新たに「射影簡約」という概念を提出した.さらに,全てのq-パンルヴェ系についてもっとも簡単な射影簡約を施した系の超幾何解を具体的に構成した.(c):パンルヴェ方程式の孤立周期解の個数を具体的に計算することに成功し,マルコフ・パンルヴェ超越関数の概念を導入し,それについて考察した.(d):離散ブシネスク方程式,離散ロトカ・ヴォルテラ方程式などの離散ソリトン系の非自励化に成功した.また,離散微分幾何で重要な役割を果たす離散Schwarzian KP方程式やcross ratio方程式の双線形構造を考察し,非自励化および厳密解の構成に成功した.これで離散ソリトン系の非自励化の技法はほぼ確立した.(e):定数磁場ランダウハミルトニアンの最低固有値の固有空間に付随する行列式点過程であるジニブル点過程を拡張し,高次の各ランダウレベルの固有空間に付随するジニブル型点過程を導入してその性質を議論した.(f):トロピカル幾何を応用して,ある性質のよいトロピカル楕円曲線上の倍角写像として2次元区分線形可解カオス系を提出し,超離散テータ函数を用いて一般解を構成した.さらに,それらがHesseの3次曲線上の倍角写像とその一般解から巧妙な超離散極限で得られることを示した.この系は「負号の問題」を抱えているが,背後の幾何学的構造を用いて克服することができた.多分,負号の問題を本質的に克服できた初めての例であろう.
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