| 研究概要 |
剰余体が正標数の閉体上の多変数の巾級数体であるような正標数の完備離散付値体の上のp進微分加群で良い性質を持つものに対し,Christol-Mebkhoutのオリジナルのフィルトレーションに近い形での高次元化と,剰余体が完全とは限らない完備離散付値体の分岐理論にまつわる問題を考察した。
特に,Christol-Mebkhoutが定式化した剰余体が代数閉体である場合の微分加群のフィルトレーション,すなわち微分作用素のなす環に位相を入れ,微分加群にその商位相を入れて,零元の閉包を取ることで構成する形のフィルトレーションの高次元化を,対数なし,対数付きのそれぞれの場合に行った.これはフィルトレーションが入る対象である微分加群を,必ずしも有限次ガロア被覆では解けない場合に一般化する上で重要な意味を持つ。なお類似のものとして,Kiran KedlayaおよびLiang Xiaoによるフィルトレーションがある。また,微分加群が有限次ガロア被覆のp進ガロア表現からくる場合については,前年度までに定式化した,拡大を定義する方程式のテーラー展開に付随して得られる剛解析空間の連結成分を用いたフィルトレーション,およびAhmed Abbes,Takeshi Saitoによるガロア表現に対応するフィルトレーションとの比較を行った。ただし,残念ながら本研究の目的のひとつであったAbbes-Saitoのフィルトレーションとの比較については,最終的な解決には至らなかった。
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