| 研究概要 |
今年度は、まず、ネーター正規環R上の多項式環の部分環AがR上有限生成であるためのファイバー条件を求めよ、という問題について研究を行い、次のような定理を得た。
定理1 離散付値環Rについて、Rの剰余体kの代数閉包はk上代数的とする。このとき、R上1変数多項式環R[X]のネーター部分環Aに対し、AのR上の特殊ファイバーは常にk上有限生成である。さらに、Rが完備なら、A自身がR上有限生成である。
定理2 ネーター局所一意分解整域整RとR[X]のネーター部分環Aについて、次の条件が成り立つとする:(条件)pがRの素イデアルなら、pAはAの素イデアルである。このとき、AはR上有限生成であり、さらに、Rの可逆イデアルIが存在して、Aの整閉包はR上Iの対称代数R[It]と同型である。
以上の結果に関連して、条件をゆるめた場合、これらの定理が成り立たなくなることを示す様々な例を構成した。
次いで、Krull環R上のcodimension-one A^1-fibrationについても考察し、前年度に得た結果をさらに拡張することに成功した。さらに、応用として次の定理を得た。
定理3 標数0のKrull環RとR[X,Y]の非自明局所巾零R-導分Dについて、Dの定数環Aをとすれば、Rの因子的イデアルJが存在して、AはR上Jの記号的Rees環と同型になる。ただし、Rは体ではないとする。
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