| 研究概要 |
ホップ代数の表現論において、2つのホップ代数の表現圏が抽象的なモノイダル圏として同値になるための条件を知ることは基本的な問題である。研究代表者は、最近、半単純かつ余半単純な有限次元ホップ代数に対して、その組紐構造を用いることにより、表現圏の不変量になっているような多項式不変量の系列を定義した。ホップ代数の表現圏の不変量の典型例として表現環が知られているが、表現圏としては異なっているにも関わらず表現環が一致してしまうことがあり、表現環だけではホップ代数の表現圏の違いを捉えきることはできない。多項式不変量はこの問題の解決に寄与する。実際、研究代表者により、表現環は一致するが多項式不変量が異なるようなホップ代数の組の具体例が多数知られている。
昨年度までの研究により、ホップ代数が、有理数体上定義された有限次元半単純ホップ代数を、有理数体の有限次ガロア拡大により係数拡大したものであるとき、その多項式不変量は整数係数になることがわかっている。当該年度においては、多項式不変量が持っている性質を明らかにするために、いくつかの群ホップ代数やKac-Paljutkin型ホップ代数に対して、その多項式不変量を整数環上で既約分解し、既約成分として現れる円分多項式をMaple,Mathematica等の数式処理ソフトを使って求めた。さらに、基礎体の拡大の下での多項式不変量の変化の様子について調べた。その結果、基礎体の適当な有限次分離拡大をとると、それ以上基礎体を拡大しても、組み紐構造は増えないことがわかった。このことから、多項式不変量は基礎体の適当な有限次分離拡大をとった後では、変化しない(安定する)ことがわかった。
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