| 研究概要 |
本年皮は山根は主にI. Heckenbergerと共同で1のべき根の場合やスーパーの場合も含むかなり一般的な量子群のシャポバロフ行列式の研究を行い証明を完成させプレプリントを書いた(I. Heckenberger and H. Yamane, Drinfel'd doubles and Shapovalov determinants, Preprint arXiv:0810.1621)。I. Heckenbergerと山根はすでにコクセター亜群の研究を行いその松本型の定理を得ていた(I. Heckenberger and H. Yanmane, A generalization of Coxeter groups, root systeps, and Matsumoto's theorem, Math. Z.259(2008)255-276).この事とI. Hecenbergerの得た一般的な量子群へのLusztig型のコクセター亜群の作用を用いてシャポバロフ行列式の1次式への因数分解を決定した。そこでの証明は従来の手法とは全く独立であって1のべき根の場合には量子群が有限次元であってヴァーマ加群に最初からエクストリーマル・ベクトルが存在している事に注目して行った。この手法は誰もが最初に試してみると思われる初等的なものでありシャポバロフ行列式の因数分解にWey1群があらわれる理由を解明したものである。我々以前の研究では無限次元の場合のみに着目していたので我々の手法は使えずJantzenフィルトレーションを用いて行われた。我々の今回の研究はJantzenフィルトレーションを使わなかった。次に我々は我々の手法の簡潔さを用いて単純加群の指標の研究を行った。また山根はB型量子群のLusztig型A形式の研究を行った。Lusztig自身によるLusztig型A形式の構成は膨大な計算量を要する。Drinfeld双線形形式による双対を用いて構成法が簡単に出来ないかというのが最初の動機であった。
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