| 研究概要 |
種数が2以上の非特異射影代数曲線上の直線束のフロベニウス直像は安定ベクトル束になる,というLange-Paulyによる定理の一般化に取り組んでいる.これまでに,曲線上で直線束を階数の高いベクトル束に置き換えた場合,および,曲線をある条件を満たす一般型曲面に置き換えてその上の直線束を考えた場合,それぞれの場合に結果を拡張することができていた.今年度は,さらに代数多様体の次元とベクトル束の階数が同時に高い場合について一般化することに成功し,次のような結果を得た:
非特異射影曲面Xとその上の数値的正な因子Hの組で,Xの余接束はH半安定であり,標準因子の次数が正になり,Hがしかるべき一般性の条件を満たすものを考える.(特に,一般型曲面の極小モデルで余接束が標準因子に関して半安定のとき,この条件は満たされる.)このとき,Xの余接束と任意の直線束のテンソル積の,フロベニウス直像は,Hに関して半安定である.
このことの証明には,これまでと同様canonical filtrationおよびcanonical connectionを用いるが,議論の中で余接束のp階テンソル(pは基礎体の標数)を扱わなければならないところに困難な点があり,これをうまく回避することに成功した.
さらに,上記定理の応用として,正標数の一般型曲面に対するBogomolov型不等式,および,ある条件のもとの小平消滅定理を証明することに成功した.
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