| 研究概要 |
平成21年度研究実施計画で述べた次の研究課題:予想1)、止標数における小平消滅定理を中心に研究した。
1) Eを4次元射影空間P^4_k(k:代数閉体、p=char(k)>0)上の階数2のベクトル束で、c_1^2-4c_2「O(c_i : Eのi次チャーン数)を満たすものとする。このとき、XをEに付随する行列式代数曲面とすると、これまでの研究により、Eが線束に分解することとdim H^1(X, End(E^<(q)>)≦O(q)であることは同値であることが示されている。ただし、E^<(q)>は次数q=p^nのXのFrobenius写像によるE|Xの引き戻しである。従って、本年度では、dim H^1(X, O(q(D-F))≦O(q)(q≫1)を示すことにより上記課題を解決することに勤めた。ただし、D, H, F=c_1H-D, Z=D-aH(a : Eの不安定数)はX上のEおよびP^4_kの超平面に付随して定義される正因子である。しかし、不等式dim H^1(X, O(q(D-F))≦-2Z(D-F)q^2+O(q^1)しか得られなく、今後も課題は残されている。
2) Xを代数閉体k(p=char k>0)上定義された非特異射影多様体、F=F_xをXのFrobenius写像、複体(F^*F_*(Ω_x), d)をXのDe Rham複体とする。De Rham複体の各成文F^*F_*(Ω^1_x)は自然な標準フィルターWを持ち複体(F^*F_*(Ω_x)W, d)はフィター付き複体をなす。しかし、微分dのWに関する次数はOでなく(-1)である。これまでのフィルター付き複体のスペクトル列理論は次数Oで展開されているので、一般次数kを持つフィルター付き複体のスペクトル列理論を構成し、その構造について研究した。(K, F, d)を次数kを持つフィルター付き複体とするとき、そのスペクトル列を次の様に定義する。
[numerical formula]
このとき、次数Oにおけるスペクトル列理論に関する有用な諸結果は必要な修正を施すことにより次数kにおいても成立することを確認した。
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