| 研究概要 |
第2ベッチ数1,第3ベッチ数0,をもつ3次元複素アフィン空間の非射影的コンパクト化(X,Y)の分類について,特に,境界因子Yが「nef」のとき,Xはゴレンスタイン端末特異点を持つ,インデックスが2以下の3次元ファノ多様体による,3次元アフィン空間のコンパクト化(V,A)の分類に帰着されることが知られている.Vのインデックスが2の場合は,(V,A)はすでに分類済みである.そこで,残る場合である,インデックスが1の場合について研究を行った.向井氏およびIskovskih氏により,Vの種数gは2<g<11であることが知られている.g=10の場合には,そのようなファノ多様体の中に3次元アフィン空間を含むものが存在することから,次の予想:「インデックスが1の場合はg=10であろう」を立て,その解決に向けて研究した.残念ながら現在までに完全には解決できていない.その困難性は,Vの第3ベッチ数を知るすべがないこと,および,Vの特異点の型が特定できないことにある.そこで,Vの第3ベッチ数が1という仮定の下で,コンパクト化(V,A)の分類を試み,次の結果を得た.(i)Vの特異点は(-2,0)型のcDuVal特異点をもつ.(ii)境界因子Aは有理曲面である(iii)Vは円滑化(smoothing)可能であることが,並河氏によって知られている,Vの平滑化をV'とおくとき,V'の種数はg=10であこのことから,Vの種数もg=10であることが示せ,(V,A)が決定された.ベッチ数に関する強い条件の下ではるが,研究は前進した.
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