| 研究概要 |
複素数体上の0次元完全交叉について,強いレフシェッツ条件が成立することを証明することが,本研究の目標である.この問題の本質は,アルティン可換環において,十分一般的な1次式のジョルダン標準形を決定することにある.この研究を通して,代数幾何学の基本定理,Hard Lefschetz Theoremに対する新たな解釈ができるものと期待できる.
この問題解決のための1手段として,(一般的な1次式よリ扱いやすい)特殊な形の1次式で,ジョルダン標準形の形が決定できるものが存在することを仮定する.これは,群作用をつゴレンスタイン環の場合に多くの例が存在する.この場合は,その交換子代数既約加群が決定され,しかも,それらが,可換環上の加群としての意味を持つことが次第に明らかになってきた.
このことに注意して,幾つかの一般的な定理を得た.これにより,大量の完全交叉環に対して強いレフッシェッツ性を証明できる.また,強いレフシェッツ条件は,標準的ではない次数を導入しても,標準的な場合と同様の理論か成立することが判明し,また,ある場合には,非標準的な次数を導入することが必要となる場合があることが確認された.
不変式で生成されるイデアルを扱う場合は,不変式部分環で議論をすることが可能で,証明が簡単になることも,強レフシェッ条件の特徴の一つである.
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