| 研究概要 |
ザイフェルトホモロジー球面のSU(2)量子不変量に対しては、Lawrence, Zagier,樋上によって、保型形式との関連が知られている。本研究の目的の一つは、そのような関連が他の単純リー環に付随する量子不変量にも現れるか調べることである。SU(2)不変量の場合、保型形式との関連から、その漸近挙動に現れる大槻不変量をL-functionによってあらわすことができる。今年度の結果では、そのL-functionとの関連公式から、よりザイフェルト不変量を反映する形の公式を得ることができた。
その結果をもとに、他のA型単純リー環に付随する量子不変量についても、その漸近挙動に現れることが予想されている摂動的量子不変量(SU(2)の場合は大槻不変量)について、大槻不変量とL-functionとの関連公式に似た形で、低い次数の部分の公式を得ることができた。さらに、摂動的量子不変量の普遍量であるLMO不変量についても、これまで得られていたものより、より明確な公式を得ることができた。これらの公式はSU(2)以外の3次元多様体の量子不変量と保型形式との関連の解明に役立つと思われる。
また、結び目の量子不変量については、以下の結果が得られた。結び目の色つきジョーンズ多項式の1の冪根での値の漸近的な振る舞いは結び目補空間の双曲体積と関連すると予想されており、体積予想と呼ばれる。特に、トーラス結び目についてはこの特殊値は保型形式のアイヒラー積分を用いて表され、近保型性から漸近展開が厳密に求められる。こうした理由により、数論的・トポロジー的に色つきジョーンズ多項式の1の冪根以外での漸近的な振る舞いは大変興味深い。樋上は、八の字結び目、およびトーラス結び目に対していくつかの点について漸近極限を調べ、アレキサンダー多項式のゼロ点と密接な関係があることをみいだした。
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