| 研究分担者 |
河野 明 京都大学, 理学研究科, 教授 (00093237)
深谷 賢治 京都大学, 理学研究科, 教授 (30165261)
中島 啓 京都大学, 理学研究科, 教授 (00201666)
森脇 淳 京都大学, 理学研究科, 教授 (70191062)
吉田 敬之 京都大学, 理学研究科, 教授 (40108973)
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| 研究概要 |
本研究の目的は,楕円コホモロジー論やMorava K-理論のような高階のコホモロジー論を,通常のK-理論がベクトル空間のカテゴリーから構成されるように,高次元カテゴリーを用いて実現することである.平成19年度の研究では,有限群の表現が,可換あるいは巡回部分群たちと,共役準同型のなすカテゴリー上で決まってしまうことに注目し,このようなカテゴリーからのファンクターカテゴリーを考察した.これは群自体が1-カテゴリーであるのに対し,2-カテゴリーとなっている.このカテゴリーでは1-射の積は元の群において交換可能な元のみに対し定義され,ある種の量子群と考えることができる.また,完備な局所環R上で定義された形式群は可換なR-代数に対し幾何的点集合として可換群を定めるが,非可換なR-代数に対しも,上のような2-カテゴリーを定めることができる.特にR上の全行列環に対して得られる2-カテゴリー,あるいはその分類空間についてこれまでに得られた結果は,1)n次全行列環とm次全行列環の直和によって,この分類空間はG.Segalの特殊ガンマ空間であり,従ってその完備化は無限ループ空間である.2)形式群を用いてテンソル積が定義され,この無限ループ空間により定まる一般コホモロジー論は積を有する.3)形式群が乗法群のときは,この2-カテゴリーから定まる表現論は有理数体上一致する.以上の点からこの2-カテゴリーがMorava K-理論の分類空間の候補であると考えられる.今後の課題として,この分類空間のコホモロジー群の決定等があげられる.
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