| 研究概要 |
次元論の近年の発展に沿い、計算可能性理論とドメイン理論への次元論の応用と、距離空間を中心とした無限次元空間まで含めた位相次元の解析、および、可分距離空間における解析集合論からのアプローチによる次元関数の解析を、主に服部と連携研究者の立木秀樹氏が行った。EdalatとHeckmannが提唱した距離空間の計算モデルであるformal ballsからなるドメインの順序構造を、そのLawson位相と直積位相との関係から調べることは、位相数学的側面、及び情報理論双方から興味深い。本研究では、ノルム空間Lp(Ω,Σ,μ),1〓p<∞,に対するformal ballsの空間において、Lawson位相と直積位相が一致するための条件を次のように決定した:1.1<p<∞ならば、上の二つの位相は一致する。2.p=1のとき、上の二つの位相が一致するための必要十分条件は、μ(Ω)=0,または,Ωがアトムからなる有限分割を持つことである。3.p=∞のとき、上の二つの位相が一致するための必要十分条件は、μ(Ω)=0,または,Σにアトムが存在することである。次元論に関する研究は、服部と海外研究協力者のChatyrko氏が中心に行った。ここでは、可分距離空間におけるabsolute Borel classesを法とする有限、あるいは、超限次元関数(A(α)-trind,A(α)-trInd,H(α)-trind,M(α)-trInd)の振る舞いを解析し、深さの異なるabsolute Borel classes,A(α)(additive Borel class)とM(α)(multiplicative Borel class)に関して、A(α)-trindとM(α)-trindが、そして,A(α)-trIndとM(α)-trIndの差異を示す可分距離空間X(α),Y(α)を構成した。さらに、服部とChatyrkoは、小さい帰納的次元indの加法定理と積定理の評価の精密化を行った。
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