| 研究概要 |
双曲型結び目の例外的デーン手術は,レンズ空間を生むレンズ手術,本質的トーラスを含む多様体を生むトロイダル手術,ザイフェルト多様体を生むザイフェルト手術の3種類に分類される.本年度は,前者2つのタイプの例外的デーン手術に関する成果をあげた.
1.トロイダル手術:双曲型結び目は高々3つのトロイダル手術をもつと予想されている.これまで3つのトロイダル手術を許容する双曲型結び目としては,8の字結び目と(-2,3,7)型プレッツェル結び目しか知られていなかった.本年度の研究において,そういう結び目の無限列を構成した.しかも3つのトロイダル手術が連続した整数に対応するという著しい性質を持っている.すでに論文として,国際学術雑誌に受理され,掲載予定である.
2.レンズ手術:デーン手術の係数を固定したとき,そのデーン手術によって同相な多様体を生む無限個の結び目が存在することが,近年明らかになった.ただし,レンズ空間については,そのような現象は知られていない.実際,2つの結び目から同じデーン手術によって生じうる例があることが散発的に知られていたにすぎない.そこで,本年度の研究において,同相なレンズ空間を同じ係数のデーン手術で生成できるような結び目の組を無限個構成した.特に,各組を構成する結び目としては,トーラス結び目,サテライト結び目,双曲型結び目を自由に選ぶことができる.ただし,両者をサテライト結び目にすることだけはできず,それが不可能であることも証明した.現在,論文としてまとめている段階にある.
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