| 研究概要 |
双曲型結び目の例外的デーン手術は,レンズ空間を生むレンズ手術,本質的トーラスを含む3次元多様体を生むトロイダル手術,ザイフェルト多様体を生むザイフェルト手術の3種類に分類される.本年度は,前者2つのタイプの例外的デーン手術に関する成果をあげた.
1.レンズ手術について
10年以上前に,BoyerとZhangによって,双曲型結び目がレンズ手術をもつとき,その前後の手術のいずれかは本質的トーラスを含まない3次元多様体を生むであろうと予想されていた.本研究において,この予想への反例を与えた.すなわち,双曲型結び目であって,例外的整数手術として,レンズ手術の前後がともにトロイダル手術であるような例を無限個構成した.この成果は論文としてまとめ,すでにカナダ数学会の雑誌に受理されている.
2.トロイダル手術について
トロイダル手術の結果,本質的トーラスを含む3次元多様体が生じるが,その多様体内において,本質的トーラスと手術ではりつけたソリッドトーラスのコアとの幾何的最小交点数をそのトロイダル手術のヒット数と定義する.ほとんどのトロイダル手術はヒット数2をもつが,Eudave-Munozによって,ヒット数4の例が発見されていた.その例は可逆な結び目であったが,本研究において,非可逆な双曲型結び目であって,ヒット数4のトロイダル手術を許容するものを無限個構成した.この成果は論文としてまとめ,すでに出版済みである.
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