| 研究概要 |
ファノ多様体の組合せ論は,代数幾何・表現論・数理物理に関わる.現在それらに共通の言語を与えているのが導来圏の理論であるが,それでは不十分な点が出てきた.そこで,これにかわるものとして,無限圏の理論に代表されるホモトピー代数について研究をすすめた.
また,ケルヴェア予想の唯一残された次元について調べるため,例外型対称空間である一般化された射影平面とその部分多様体について研究した.これはファノ多様体論の一種であるセベリ多様体の理論に関係していて,組合せ論的にも興味深いものである.
また,IPMUの土屋昭博教授との共同研究をはじめた.目標はホモトピー代数的手法による共形場理論の研究である.そこでは点付き安定曲線の族の上に頂点作用素代数の表現をのせるということをおこなう.点付き安定曲線の族のうち,もっとも基本的なものは4,5点付き種数0の安定曲線の普遍族だが,これはファノ多様体の重要な例をあたえ,その組合せ論は,マシュー群,リーチ格子などの散在型単純群の理論にも深く関係する.今回の研究で,頂点作用素代数の基礎理論が,点付き安定曲線の族の立場から自然に解釈できることがわかってきた.
共形場理論の幾何学的定式化はD加群の言語によってなされるが,D加群の理論のホモトピー代数的構造についてはまだよくわかっていない.今回,D加群にあらわれる自然なフィルトレーションとホモトピー論にあらわれる自然なフィルトレーションの類似を追うことで,ある有限性をもつ頂点作用素代数の共形場理論の幾何学的定式化に端緒をつけることができた.
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