| 研究概要 |
1.位相空間上の連続関数の拡張理論に関して,位相空間Xの次の性質を持つ部分空間Aの位相的特徴付けを与えた。位相濃度がκ以下の任意のσ-局所コンパクト距離空間Mに対して,直積A×M上の任意の実数値連続関数はX×M上に連続に拡張される。この結果は,1983年にT.C.Przymusinskiが証明なしで発表して以来,その証明が知られていなかった次の定理を精密化するものである。定理:位相空間Xが可算Katetov空間であるためには,任意のσ-局所コンパクト距離空間Mに対して,直積X×Mが矩形正規であることが必要十分である。系として,位相空間Xの部分空間Aに対して,次の主張(1)-(3)は同値であることが導かれる。(1)任意のσ-局所コンパクト可分距離空間Mに対して,A×MはX×MでC-埋蔵である。(2)有理数の空間Qに対して,A×QはX×QでC-埋蔵である。(3)Aの余零集合からなる可算局所有限被覆は,Xの余零集合からなる可算局所有限被覆に拡張される。
2.任意の自己稠密可分距離空間が独立部分基底を持つかというH.Tsuikiの問題に肯定解を与えた。その1つの結果として,正則T_1空間Xが自己稠密可分距離化可能で被覆次元がn以下であるためには,Xが次元n以下の独立部分基底を持っことが必要十分であることが導かれる。独立部分基底は実数のグレイコード展開を任意の距離空間に一般化することを目的に導入されたが,もう1つの一般化である標準部分基底について,標準部分基底を持つ距離空間を特徴付ける問題は未解決であり,今後の課題である。
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