| 研究概要 |
Knothe-Rozenblatt Rearrangement(以下簡単のためにKRR)の確率過程版であるKnothe-Rozenblatt process(以下簡単のためにKRP)の確率流のランダムな確率密度関数の表現定理を与えた.この関数は滑らかではないので,伊藤の公式を使って解析することはできないが,この表現定理により,その確率密度関数の平均などの解析が可能になる.証明には,KRPに対する双対定理により,そのドリフトベクトルが三角写像になっていることを使う.この表現定理とドリフトベクトルの満たす(KRPに対する双対定理から導かれる)Hamilton-Jacobi-Bellman方程式を用いて,このランダムな確率密度関数の空間変数にKRPを代入したものの対数の平均が凸性を持つことを示した.これは,KRRが平均を取らなくても同様の性質を持つことの一般化になっている.KRRのこの性質はBrunn-Minkowskiiの不等式を導く,今後,上記結果の確率分布に関係した変分不等式等への応用が期待される。次に、上記結果を用いて、KRPの確率分布関数の空間変数にKRPを代入したものの対数の平均がある種の凸性を持つことを示した。ここで,重要なのは,上記2種類の平均が,Fisher情報量により結びついていることである.変分不等式の研究において最適輸送問題が重要な役割を果たすが,そこで,鍵を握るのが所謂HWI不等式である.今後は,上記研究結果を直接各種変分不等式の研究に応用することが望まれる.
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