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平成20年度の研究計画は以下の通りであった。研究代表者一ノ瀬は、量子電磁気学のFeynman経路積分による数学的定式化の研究、及び振動型積分作用素の有界性定理の研究を行い、これのFeynman経路積分への応用を行うことであった。
研究の実施は概ね成功したが、未完成の部分もあった。以下具体的に記す。
一ノ瀬は、平成19年度に引き続き、物理で行われているFeynman経路積分による量子電磁気学の、数学的定式化の研究を行なった。物理で用いられている拘束条件を用い、十分大きな箱上で周期的な条件を置き、更に光子の振動数の高い部分を切断(紫外切断)するという仮定の下で、Feynman経路積分の収束を証明した。又、位相空間経路積分を用いることにより上記の拘束条件なしに、量子電磁気学が定式化できることも数学的に証明した。これ等の研究成果を纏め、雑誌Review in Mathematical Physicsに現在投稿中である。又、偏微分方程式の係数に関する解の連続性を導き、これの量子電磁気学に対するFeynman経路積分への応用を行うことで、従来知られていた量子電磁気学に対するFeynman経路積分の結果の拡張を行った。この結果は、現在雑誌Journal of Functional Analysisに投稿中である。
これ等の研究は、現在まで量子電磁気学のFeynman経路積分の数学的研究が今まで殆どなされておらず、フロンティア的価値が高いと思われる。
これ等の研究は、夏の作用素論研究会(2008年9月5日-8日)で「QEDに関する経路積分の収束」の題目で発表し、谷口和夫還暦シンポジウム(2008年12月19日)で「シュレディンガー方程式の解のポテンシャルに関する連続性」の題目で講演した。
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