| 研究概要 |
メビウス群の2元生成部分群Gのヨルゲンセン数J(G)はJ(G):=inf{J(A,B)||tr^2A-4|+|tr[A,B]-2||<A,B>=G}により定義される。J(G)=1となる非初等的2元生成離散群をヨルゲンセン群という。ヨルゲンセン群には放物型と楕円型がある。今年度は放物型ヨルゲンセン群および三角群のヨルゲンセン数について考察した。
1. 研究成果(1)放物型のヨルゲンセン群をすべて見つけることにLi-Oichi=Satoにおいて成功したが、第3論文に不備のあることを指摘され、今回その不備を補い完全なものとした。(2)ヨルゲンセン数に関しては、一般の(p,q,r)型の三角群のヨルゲンセン数は4(cos^2(π/p)+cos^2(π/q)+2cos(π/p))^2cos(π/q)cos(π/r))であることは正しいと思われるが、まだ完全な証明を得ていない。現在は予想の段階である。
2. 研究発表(1)上記(1)の結果は2008年7月29日に複素解析国際学会において発表した。まもなく論文として出版されることになっている。(2)同様の結果は2009年3月28日に日本数学会において発表した。
3. 今後の研究の展開に関する計画(1)一般の三角群のヨルゲンセン数を求める(上記予想の肯定的解決)こと(2)楕円型のヨルゲンセン群をすべて見つけること(3)古典的ショットキイ群及び一般のショットキイ群のヨルゲンセン数を求めること(4)古典的ショットキイ群によるリーマン面の一意化の問題等を考察することを考えている。
4. 外国における研究(1)テキサス大学のJason Callahan氏は私達の研究をもとにヨルゲンセン群について低次元トポロジーの分野で学位論文を完成させた。(2)楕円型ヨルゲンセン群に関してはGehring-Gilman-Martinの結果があり、S.Huang准教授も私達の研究に刺激され、研究を開始した。
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