| 研究概要 |
今年度は非線形境界条件下で, ロジスティックタイプの反応項をもつ非線形楕円型境界値問題の正値解の存在について研究した. いわゆる, 領域内部で消散型, 境界上で爆発型の非線形項をもつ. 両方の非線形項のある意味つり合いの程度により, 正値解の現れ方が劇的に変わることが予想された.
今年度は自明な解の枝からの分岐解が大域的に延長可能であるかを考察した. 局所存在については既に研究代表者の過去の研究により示されている. 本研究課題の主要な考察対象であるアレー効果の影響は, 主として, 分岐曲線の折り返し点(turning point)の存在に深く依存する. 今年度の考察は, その前提として, 分岐曲線が大域的に得られるかを調べるものである. 結論として, 大域的分岐定理を適用することによって分岐曲線が大域的に延長できることを示した. ただし, 大域的存在は,我々の考察対象であるパラメータの範囲で考えるとき, 条件的である. この議論では, 研究代表者の既存の結果である, 2次分岐正値解の存在と非存在の結果を援用した. すなわち, 大域的延長可能なための定量的な十分条件を与えることができた.
証明の本質は写像度の理論に帰依する. ラビノビッツ型の大域的分岐論にのせて, 解曲線は閉連結な部分集合で, 設定した関数空間において非有界であることが示された. 従来, 問題に含まれる係数が非負定値である場合に同様の結果が得られている. 本研究ではこの結果を符号不定の(領域内で符号変化する)場合に拡張した.
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