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2007 年度 実績報告書

超臨界指数をもつ非線形放物型方程式の解の特異性と挙動に関する研究

研究課題

研究課題/領域番号 19540210
研究機関東京学芸大学

研究代表者

溝口 紀子  東京学芸大学, 教育学部, 准教授 (00251570)

研究分担者 柳田 英二  東北大学, 理学研究科, 教授 (80174548)
キーワード半線形熱方程式 / 爆発 / 超臨界指数 / 組みひも群 / タイプII / 弱解
研究概要

冪の形の非線形項をもつ半線形熱方程式の解が有限時間で爆発するとき、対応する常微分方程式の解の爆発のオーダー以下の爆発はタイプI、そうでない爆発はタイプIIと呼ばれる。非線形項の幕pがSobolevの埋め込み定理の意味で劣臨界指数の場合はタイプIの爆発しか起こらないことは以前からよく知られていた。pが超臨界指数の場合にタイプIIの爆発を起こすような解が存在することは既知であったが、そのrateについては全く研究されていなかった。
放物型方程式の2つの解の間の交点数が時間に関して非増加であることと、微分係数もOになっていれば交点数はその時刻で減少するという性質は、放物型方程式の解の挙動の研究において重要な役割を果たしてきた。しかし、タイプIIの爆発のrateを調べるためにはそれでは不十分である。そこで3つ目の解をうまく構成し3つの解の間の交点数だけでなくそれらの動きを注意深く追うことによってタイプIIの爆発のrateをpがLepinの指数より大きい場合に決定した。
次に、これらの3つの解に組みひも群の理論を適用することによってpに関する仮定をJoseph-Lundgrenの指数より大きいという条件に改良した。さらに、最初の論文では非常に複雑な解析的な評価を必要としたが、組みひも群の理論を適用することによりその複雑さを解消し証明を簡単にすることができた。組みひも群を偏微分方程式に応用することはGhrist等により始められたが、ここで用いた方法は彼らの視点とは全く異なる。また、個々の方程式の形に依存しないので多くの方程式への幅広い応用が期待される。実際、爆発後の弱解としての解の延長の一意性の研究にも応用した。また、解析学と代数学や幾何学との融合という観点からも興味深いと思われる。

  • 研究成果

    (24件)

すべて 2008 2007 その他

すべて 雑誌論文 (10件) (うち査読あり 9件) 学会発表 (14件)

  • [雑誌論文] Slow convergence to zero for a parabolic equation with supercritical nonlinearity2008

    • 著者名/発表者名
      M. Fila, M. Winkler and E. Yanagida
    • 雑誌名

      Math. Annal. 340

      ページ: 477-496

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Rate of type II blowup for a semilinear heat equation2007

    • 著者名/発表者名
      N. Mizoguchi
    • 雑誌名

      Math. Ann. 339

      ページ: 839-877

  • [雑誌論文] Multiple blowup for nonlinear heat equations at different places and different times2007

    • 著者名/発表者名
      N. Mizoguchi and J. L. Vazquez
    • 雑誌名

      Indiana Univ. Math. J. 56

      ページ: 2859-2886

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Multiple continuation beyond blow-up2007

    • 著者名/発表者名
      N. Mizoguchi and M. Fila
    • 雑誌名

      Differential Integral Equations 20

      ページ: 671-680

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Irregular behavior of solutions for Fisher's equation2007

    • 著者名/発表者名
      E. Yanagida
    • 雑誌名

      J. Dyn. Diff. Eqs. 19

      ページ: 895-914

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On certain one-dimensional elliptic systems under different growth conditions at respective infinities2007

    • 著者名/発表者名
      M. Iida, K. Nakashima and E. Yanagida
    • 雑誌名

      Advanced Studies in Pure Mathematics 47

      ページ: 567-574

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Grow-up of solutions of a semilinear parabolic equation with a critical exponent2007

    • 著者名/発表者名
      M. Fila, J. R. King, M. Winkler and E. Yanagida
    • 雑誌名

      Adv. Diff. Eqs. 12

      ページ: 1-26

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On the uniqueness of $ L^1 $-continuation after blowup

    • 著者名/発表者名
      N. Mizoguchi
    • 雑誌名

      J. Functional Analysis (to appear) (印刷中)

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Blowup rate of type II and the braid group theory

    • 著者名/発表者名
      N. Mizoguchi
    • 雑誌名

      Trans. Amer. Math. Soc. (to appear) (印刷中)

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Type-II blowup of solutions to an elliptic-parabolic system

    • 著者名/発表者名
      N. Mizoguchi and T. Senba
    • 雑誌名

      .Adv. Math. Sci. Appl. (to appear) (印刷中)

    • 査読あり
  • [学会発表] On the uniqueness of $ L^1 $-continuation after blowup2008

    • 著者名/発表者名
      N. Mizoguchi
    • 学会等名
      日本数学会年会 函数方程式論分科会
    • 発表場所
      近畿大学
    • 年月日
      2008-03-25
  • [学会発表] Blowup rate of type II and the braid group theory2008

    • 著者名/発表者名
      N. Mizoguchi
    • 学会等名
      PDE seminar
    • 発表場所
      Univ. of Minnesota
    • 年月日
      2008-02-13
  • [学会発表] Blowup rate of type II and the braid group theory2008

    • 著者名/発表者名
      N. Mizoguchi
    • 学会等名
      PDE Work Shop
    • 発表場所
      National Taiwan Univ.
    • 年月日
      2008-01-16
  • [学会発表] Blowup rate of type II and the braid group theory2007

    • 著者名/発表者名
      N. Mizoguchi
    • 学会等名
      微分方程式の総合的研究
    • 発表場所
      東京大学
    • 年月日
      20071214-15
  • [学会発表] Principal eigenvalue for an elliptic problem with indefinite weight and its application to population dynamic2007

    • 著者名/発表者名
      E. Yanagida
    • 学会等名
      21世紀COE「物質階層融合科学の構築」第6回国際シンポジウム
    • 発表場所
      東北大学
    • 年月日
      2007-12-15
  • [学会発表] Some properties of decaying solutions of a semilinear parabolic equation2007

    • 著者名/発表者名
      E. Yanagida
    • 学会等名
      Recent Advances on Nonlinear Parabolic and Elliptic Differential Equations
    • 発表場所
      龍谷大学
    • 年月日
      2007-12-04
  • [学会発表] 組みひも群の非線形拡散方程式の解の爆発への応用2007

    • 著者名/発表者名
      N. Mizoguchi
    • 学会等名
      京都解析コロキウム
    • 発表場所
      京都大学
    • 年月日
      2007-11-17
  • [学会発表] Decaying solutions for a semilinear parabolic equation2007

    • 著者名/発表者名
      E. Yanagida
    • 学会等名
      First Chile-Japan Workshop on Nonlinear PDE
    • 発表場所
      University of Chile
    • 年月日
      2007-10-23
  • [学会発表] Solutions with moving singularities for a semilinear parabolic equation2007

    • 著者名/発表者名
      E. Yanagida
    • 学会等名
      BIRS Workshop
    • 発表場所
      Banff International Research Station
    • 年月日
      2007-10-11
  • [学会発表] 歪勾配系における安定性解析I, II2007

    • 著者名/発表者名
      E. Yanagida
    • 学会等名
      非線形数理秋の学校「パターン形成の数理とその周辺」
    • 発表場所
      明治大学
    • 年月日
      2007-09-27
  • [学会発表] Blowup rate of type II and the braid group theory2007

    • 著者名/発表者名
      N. Mizoguchi
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会 函数方程式論分科会
    • 発表場所
      東北大学
    • 年月日
      2007-09-24
  • [学会発表] Stability analysis of stationary interfaces with triple junctions2007

    • 著者名/発表者名
      E. Yanagida
    • 学会等名
      Joint NCTS (South) Seminar
    • 発表場所
      National Sun Yat-sen University
    • 年月日
      2007-08-31
  • [学会発表] Convergence to self-similar solutions for a semilinear parabolic equation2007

    • 著者名/発表者名
      E. Yanagida
    • 学会等名
      mini-symposium (Qualitative theory of elliptic and parabolic PDEs)
    • 発表場所
      Vienna University of Technology
    • 年月日
      2007-08-07
  • [学会発表] Blowup rate of type II and the braid group theory2007

    • 著者名/発表者名
      N. Mizoguchi
    • 学会等名
      東北大学談話会
    • 発表場所
      東北大学
    • 年月日
      2007-06-11

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公開日: 2010-02-04   更新日: 2016-04-21  

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