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本研究は、2002年にG. Kaniadakis、A. M. Scarfone博士等が提案した、実数パラメータ(κ)により拡張されたエントロピーであるκエントロピーに特化した研究であり、関連する異常拡散過程を記述する非線型方程式および関連するFokker-Planck方程式の解の時間発展の観点から、κエントロピーに基づく統計力学の基本原理であるκエントロピー最大原理を基礎付けている物理機構を明らかにすることを目標とした研究である。
今年度の主な研究成果は以下のとおりである。
1. κエントロピーに基づく非線型拡散方程式および関連するFokker-Planck方程式の漸近解の振る舞いを、様々な初期条件に対して数値解析を行い、長時間における数値解がベキ裾を持つκ-Gauss型関数に収束することを明らかにした。
2. このκ-Gauss型関数はGaussの誤差法則において最尤関数を一般化することにより導出できることが以前までの研究で判っていたが、今回の研究により、最尤関数を一般化することと算術平均を一般化することがお互い等価であることを見いだし、その等価性を証明した。
3. 線型Fokker-Planck方程式の定常解がκ-Gauss型関数となる非線型ドリフト項を発見し、この過程の時間発展を時徴付けるリアプノフ汎関数を求め、それがパラメータκで拡張された自由エネルギーで表されることとを示した。また、この過程の定常解のみならず、長時間における解もκ-Gauss型関数を用いて記述できることを数値解析により明らかにした。
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