| 研究概要 |
弦理論・ゲージ理論対応によれば,佐々木・アインシュタイン多様体上のラプラシアンの固有関数に4次元超対称ゲージ理論のBPS状態が対応する.この対応に基づいて超対称ゲージ理論のBPS状態の存在から,ラプラシアンの固有関数としてのホイン関数(3つの確定特異点をもつ2階フックス型常微分方程式の大域解)の存在が予想される.この検証を目指して研究交流を継続したが,いくつかの問題点が解決できずに残っている.これは弦理論側に相当する佐々木・アインシュタイン多様体の幾何学に関するものではなく,むしろ対応する超対称ゲージ理論のBPS状態の理解が不十分であることに由来している.
4次元超対称ゲージ理論のBPS状態について,菅野はBPS状態の数え上げに関する組み合わせ論的性質を分配関数の視点から研究した.より具体的には精密化された位相的頂点(refined topological vertex)をMacdonald関数のある特殊化を用いて定義し.それからBPS状態の数え上げに関する分配関数(母関数)がグラフ的方法によって計算できることを示した.これは課題として上に挙げた4次元超対称ゲージ理論のBPS状態の理解に寄与することを期待している.なお本研究課題に直接関係するものではないが,この計算結果は4次元超対称ゲージ理論のインスタントン計算や結び目やリンクの不変量などに応用がある.
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