| 研究概要 |
微分方程式などの連続数学の問題を, 計算機の有限桁の浮動小数点数を用いて数値的に解きながら, 演算結果の数学的な正しさを実用的なレベルで保証する, 精度保証付き数値計算に関する研究が近年盛んに行われている.
数値計算で生ずる誤差は, (数値計算アルゴリズム由来の誤差と計算機の丸めの誤差に大別される.
精度保証付き数値計算は, 基本的には前者への対策としての不動点定理(fと後者への対策としての区間演算という2つの技術を組み合わせることで実現される.
そして, 精度保証した結果の良し悪しを測る尺度は, 精度保証付き解の区間幅の大小である(区間幅が小さいほど良い結果である).
しかるに, 区間演算は「最悪値の保証」というその性質上, 演算結果の過大評価による区間幅の増大が起きやすいという大きな欠点を持つ.
この問題を克服するために, 通常は区間拡張(入力部分を実数から区間に単純に置きかえること)する前の式を(区間幅の増大が起きづらい形に)変形するなどの工夫がなされる. ただし, あるきまった入力区間に対して, 「区間演算の定義に従って」計算した値域が最小となるような式の変形を「自動的に行う」ことは一般に難しい.
これに対し, 本研究では区間のデータ構造を改良することで区間拡張する前の式変形を人間が行わなくても区間幅の増大を抑制できる方法を示すのが目的である. 変数間の相関を表現できる区間演算の有力な変種であるアフィン演算において, 同類項のまとめを実装する.
その結果, 乗算によって生じる項の同類項のまとめについて新たな知見を得ている. 多項式展開が可能な式の値域の区間評価はシャープに行うことができる.
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