| 研究概要 |
今年度の成果の一つは, Rees代数のGorenstein性を考察するための基本定理である池田先生の結果を, 本研究に使いやすいように拡張したことです.オリジナルの池田先生の結果は, Rees代数のGorenstein性が随伴次数環のquasi-Gorenstein性に対応するように書かれているのですが, 今回, 拡大Rees代数のそれに対応するように書き直すことが出来ました.そのことの意義の一つは, 冪を取ったイデアルのRees代数を考察するときに(拡大Rees代数は随伴次数環よりもVeronese部分環と相性が良いということから)池田先生の示されたタイプの対応が使いやすくなったということです. このように拡張したことによって, 冪を取ったイデアルのRees代数のGorenstein性が, Ratliff-Rush閉包の作るフィルトレイションのRees代数のquasi-Gorenstein性に対応するということを導くことが出来ました.
もう一つの成果を説明させて下さい. 基礎環Aの次元dが2以上でかつdepthA>1を仮定します, このとき, 得た結果は, Qを標準的な巴系で生成されたイデアルとすると, Rees代数R(Q^n)がGorensteinであるためにはn=d-1で基礎環AがGorensteinであるときに限るというものです.このことを知り得たことは幸いであったと思うのですが, 一方でこのような強いことが知られていないようだということは, たとえ非Cohen-Macaulay軌跡の次元が0の場合であってもRees代数のGorenstein性は未開の地が多く, 開拓すべき余地が残されていることを示しているように思えます. 次の課題はdepthA=1のとき如何になっているかです.実は, depthA>1のときのように綺麗で単純なことではないことは徐々に分かってきていてとても複雑な様相を見せてきています.
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