| 研究概要 |
多様体の高次Chow群は、代数的整数論におけるイデアル類群の広範な一般化であり、数論幾何における主要な研究対象である。多様体が局所体上で定義されている場合、次のような形で数論的な現象に高次Chow群が自然に現れる:
---高次Chow群CH_0(X,1)は高次元類体論の相互写像により基本群のアーベル商という数論的な対象と結びつけられる。
---Chow群CH_0(X)はBrauer-Manin双対によりブラウアー群という数論的な対象と結びつけられる。
ここで「結びつけられる」と述べたのは、両者を結ぶ写像があるというだけの意味であり、その写像がどれくらい同型に近いかということは一般には分かっていない。ただし、一次元の場合は完全に解明されており、高次元の場合にも特殊な場合(具体的な多様体や、幾何的・数論的な仮定を設けた場合)にもさまざまな研究がなされている。
これらの研究はすべて、多様体が完備であるという仮定が本質的であった。実際、開多様体に対しては通常の高次Chow群を用いたのではこれらの理論を拡張することは不可能であることが簡単に分かる。しかし、Suslinにより導入された代数的特異ホモロジー群を利用することで、これが可能になるということを発見し、Chatelet曲面・三次曲面・Tate曲線の積など、興味深い実例を計算した。また、基礎体が二次元局所体の場合にも同じような構成が可能であるが、前年度にSpiessとの共同研究で得られたBloch-加藤予想の類似の反例に、この文脈(完備でない二次元局所体上の多様体に対する高次元類体論・Brauer-Manin双対の類似)で幾何的な解釈を与えた。
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