| 研究概要 |
Joel Kamnitzerは,有限次元単純リ一代数に付随した量子群の有限次元既約表現の結晶基底を,Mirkovic-Vilonen多面体(以下,MV多面体)を用いて幾何学的に実現した.本年度は,このMV多面体の概念を(当研究で重要な役割を果たす)量子アフィン代数U_q上のレベル・ゼロ基本表現の場合に拡張することを考えた.これが出来れば,MV多面体のなすクリスタルとレベル・ゼロ基本表現のパス模型の間の対応を調べることで,Lakshmibai-Seshadriパスの規則性,さらにはrigged configurationとの関係を幾何学的に調べることが出来るようになる.
本年度に得られた結果は次の通りである.これらの結果(特に(1)や(2)は,上で述べた目標のための非常に重要なステップとなる.
得られた結果.(1)U_qがA_l^<(1)>型(l≧2)の場合に(つまり,捩れのないA型の場合に),MV多面体の概念をU_qの可積分最高ウエイト表現の揚合に拡張することに成功した.
(2)有限次元単純リー代数に付随した量子群のDemazure加群の結晶基底をMV多面体を用いて記述することに成功した(レベル・ゼロ基本表現の結晶基底はDemazure加群の結晶基底と密接な関係があることが観察されている).
(3)B型,C型の有限次元単純リー代数の場合に,MV多面体の成すクリスタル上の"lowering"柏原作用素の記述を与えた(クリスタルの構造を具体的に調べるには柏原作用素の記述が必要になる).
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