| 研究概要 |
(1)本研究で主に用いるクリスタルの理論においては,テンソル積がどのように記述されるかを調べることが重要となる.本年度は,前年度に引き続き,Mirkovic-Vilonen多面体(以下,MV多面体)の研究を行い,次のテンソル積に関するMV多面体の評価を得た:「P,QをMV多面体とする.Pがextremalであるとき,テンソル積P[!○×]Qに対応するMV多面体は,PとQのMinkowski和P+Qに含まれる.」
これまでに当研究において得られたMV多面体に関する結果は,量子アフィン代数上のレベル・ゼロ基本表現の結晶基底に対応するMirkovic-Vilonen多面体(以下,MV多面体)の理論を構築し,当研究の主研究対象の1つであるrigged configurationを幾何学的に調べる際に極めて重要な役割をすると考えられる.
(2)この研究では,エクストリーマル・ウェイト加群と呼ばれる量子アフィン展開環上の加群が重要な役割を果たす.実際,量子アフィン代数上のレベル・ゼロ基本表現の結晶基底は,対応するエクストリーマル・ウェイト加群の結晶基底を,null rootを法として考えることで得られる.
そこで,本年度は"infinite rankの"量子アフィン代数のエクストリーマル・ウェイト加群を考え,それらの結晶基底に対するパス模型を構成することに成功した.そして,それらのパス模型のテンソル積の分解則をLittlewood-Richardson係数を用いて具体的に記述することが出来た.
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