| 研究概要 |
Gを有限群,Sgp(G)をGの部分群全体からなる族,△⊆Sgp(G)をG-共役の作用で閉じているGの部分群族とする。H∈Sgp(G)のG-共役部分群全体を(H)で表し、有限G-集合Xを含む同型類を[X]で表す。さらにC(△)を△に属する部分群に対するG-共役類の全体とする。このとき{[G/H]|(H)∈C(△)}を基底とする自由アーベル群をΩ(G,△)で表す。ここで△として全体のSgp(G)をとるとΩ(G):=Ω(G,Sgp(G))は有限G-集合の直積により可換環の構造が入る。これがいわゆる(通常)バーンサイド環である。一方、真の部分族△⊂Sgp(G)に対してΩ(G,△)に環構造が入る場合があり、大雑把にいうとこれが"一般バーンサイド環"である。
さて一般バーンサイド環を実現させる部分群族△の具体例の一つとしてself-normalizingな部分群がある。即ちH∈Sgp(G)に対してGにおけるHの正規化群がH自身であるようなものからなる△はΩ(G,△)に可換環の構造を与える。本年度はそのような族△から実現されるΩ(G,△)を一般に考察した。その中の主要な結果の一つとして△に幾何的ないくつかの自然な条件を仮定するとΩ(G,△)の単位元が△に関するレフシェッツ不変量として実現されることを証明した。このように一般バーンサイド環と部分群複体の理論は密接に関係しているのである。この研究成果は現在数学専門誌に投稿中である。
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