| 研究概要 |
今年度の研究は先ず昨年から行っていた岡崎氏との共同研究を完成させることから始めた。昨年行ったことはKleinの3次超曲面と呼ばれる3次元多様体のL関数を計算および、非正則(2,1)形式の微分形式に付随するGSp4のエンドスコピック持ち上げでそのL関数が志村多様体に寄与しないものの構成であった。この研究成果の背景を探る手掛かりをアーサー予想に求め、一般にどのような現象がどのような場合に起こりうるか予想を正確に定式化した。この研究成果は学術誌Amer.J.mathに掲載が決定された。
次に引き続き都築暢夫氏との超幾何層に付随するカラビヤウ多様体族の性質の解明を行った。その結果、以前までは構成したカラビヤウー族のファイバーのベッチ数やホッジ数は完全に計算できていなかったが、それが完全に計算できるようになった。また、次元に関してもこれらの数は帰納的な構造を備えておりある特別の母関数表示をもつことが解明された。ファイバーの潜在的保型性も多くの場合に証明され、特別な場合に、退化ファイバーやモノドロミーが小さい場合でも保型性を示すことができた。これらの成果に関しては現在論文を執筆中である。
上記と並行して今年度から千田雅隆氏と楕円曲線の岩沢理論をGSp4の斎藤黒川の半通常変形を用いたアプローチに関する共同研究を始めた。先ず、斎藤黒川持ち上げに関する肥田族を可能な限り一般の形で構成した。その族とテイラーの構成していた4変数のEisenstein p進族とのp進内積をとることで楕円曲線のp進L関数と楕円曲線に付随するセルマー郡との関係を結びつけることを行った。この成果は現在論文にまとめている途中である。
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